Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Εισαγωγή

Σημείο (Πρωταρχική έννοια.Δεν υπάρχει ορισμός). Το σημείο δεν έχει διαστάσεις.  Παριστάνεται με μια τελεία και δίπλα το όνομά του με ένα κεφαλαίο γράμμα.

Ευθεία (Πρωταρχική έννοια. Δεν υπάρχει ορισμός). 

Δεν έχει άκρα και μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα.  

Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες.

Από δύο σημεία διέρχεται μόνο μια ευθεία.

 Επίπεδο (Πρωταρχική έννοια. Δεν υπάρχει ορισμός). Είναι μια επιφάνεια στην οποία εφαρμόζει η  ευθεία γραμμή προς οποιαδήποτε κατεύθυνση.  Κάθε ευθεία ενός επιπέδου το χωρίζει σε δύο ημιεπίπεδα.

Συνευθειακά λέγονται τα σημεία που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.

Ευθύγραμμο τμήμα είναι το μέρος μιας ευθείας με αρχή και τέλος.

Μία τεντωμένη κλωστή με άκρα Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

Μέσον ενός ευθύγραμμου τμήματος λέγεται το σημείο του τμήματος που ισαπέχει από τα άκρα του.

Ημιευθεία είναι ένα  μέρος μιας ευθείας που έχει αρχή, αλλά δεν έχει τέλος.                                                

Αντικείμενες ημιευθείες λέγονται δύο  ημιευθείες που έχουν κοινή αρχή και σχηματίζουν μια  ευθεία.

Πρόσθεση και αφαίρεση   τμημάτων.

Σε μία ευθεία ε έχουμε με τη σειρά τα σημεία Α, Β, Γ, όπως φαίνεται στο σχήμα:
Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ λέγεται άθροισμα των τμημάτων ΑΒ και ΒΓ, και γράφουμε: ΑΓ = ΑΒ + ΒΓ.

Το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ λέγεται διαφορά των τμημάτων ΑΓ και ΑΒ, και γράφουμε: ΒΓ = ΑΓ – ΑΒ.

Πολλαπλασιασμός τμήματος επί φυσικό αριθμό.

Γινόμενο ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ επί ένα φυσικό αριθμό, έστω 3, λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ που γίνεται από το ΑΒ αν ληφθεί τρεις φορές. Δηλαδή ΑΓ = 3ΑΒ

Μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος λέγεται ο αριθμός που δηλώνει από πόσες μονάδες μέτρησης αποτελείται το τμήμα.
   π.χ. δίνονται τα τμήματα α, β, γ. Να βρείτε το μήκος των δύο από αυτά με μονάδα μέτρησης το τρίτο. 

   Με μονάδα το α είναι β=2α και γ=5α.

   Με μονάδα το β είναι α=0,5β και γ=2,5β.

   Με μονάδα το γ είναι α=0,2γ και β=0,4γ.

Συμμετρικό σημείου Α ως προς άξονα ευθεία ε και ως προς κέντρο σημείο Κ είναι το Α'.

ΓΩΝΙΕΣ

Γωνία λέγεται το μέρος του επιπέδου που ορίζουν δύο ημιευθείες με κοινή αρχή. Η κοινή αρχή λέγεται κορυφή και οι ημιευθείες λέγονται πλευρές.

Μία γωνία διαβάζεται με τρία γράμματα όπουμεσαίο είναι το γράμμα της κορυφής. π.χ. xOy,  ή  yOx,   ή Ο,  ή φ.  (όχι xyO).

Η μοίρα  συμβολίζεται με ° , είναι μονάδα μέτρησης μιας επίπεδης γωνίας. Η γωνία \( 1^o \) είναι ίση με το \( \cfrac{1}{360} \) μιας πλήρους γωνίας.  

Η μοίρα υποδιαιρείται σε \( 60 \)  λεπτά (\( 60' \)) και κάθε λεπτό σε \( 60 \) δεύτερα ή δευτερόλεπτα ( \( 60'' \) ).

Έτσι η γραφή \( 10^o 30' 15' ' \) διαβάζεται δέκα μοίρες, τριάντα πρώτα λεπτά και δεκαπέντε δεύτερα λεπτά.

Διχοτόμος μιας γωνίας λέγεται η ημιευθεία που την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.

Κάθετες λέγονται δύο ευθείες που τέμνονται και σχηματίζουν 4 ίσες γωνίες.

Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ λέγεται η ευθεία  \( \epsilon  \) που είναι κάθετη στο μέσον του K.

Είδη γωνιών:

\( 0^o < \) οξεία \( < 90^o  \),      Ορθή \( = 90^o  \),    \( 90^o < \) αμβλεία \( <180^o  \),

 Ευθεία γωνία \( =180^o  \),        \( 180^o <\)   Μη κυρτή  \( < 360^o    \),     Πλήρης  \( = 360^o    \)

Εφεξής λέγονται δύο  γωνίες που έχουν ίδια κορυφή, μια κοινή πλευρά και οι μη κοινές πλευρές εκατέρωθεν της κοινής.

Διαδοχικές λέγονται τρείς ή περισσότερες γωνίες που κάθε μια με την διπλανή της είναι εφεξής.

Παραπληρωματικές λέγονται δύο γωνίες με άθροισμα 180⁰.

Συμπληρωματικές λέγονται δύο γωνίες με άθροισμα 90^ο.

Κατακορυφήν  λέγονται δύο γωνίες που οι πλευρές της μιας είναι αντικείμενες ημιευθείες των πλευρών της άλλης. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.

Οι διχοτόμοι των εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες. 

Απόσταση δύο σημείων λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που έχει για άκρα τα σημεία αυτά..

ΚΥΚΛΟΣ

Κύκλος λέγεται το σύνολο των σημείων (γεωμετρικός τόπος) του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο, το κέντρο.

Κ: Κέντρο          ΚA, KB: Ακτίνες          ΑΒ: Διάμετρος          Α, Β: Αντιδιαμετρικά σημεία   

\( \scriptscriptstyle{\overset{\frown}{\mathsf{\Gamma \Delta }}} \)   τόξο

ΓΔ: χορδή

Ακτίνα κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει ένα σημείο του κύκλου με το κέντρο του κύκλου.
 Όλες οι ακτίνες του ίδιου κύκλου είναι ίσες.                                                                                                        

Διάμετρος κύκλου λέγεται η χορδή που διέρχεται από το κέντρο. Τα άκρα μιας διαμέτρου λέγονται αντιδιαμετρικά σημεία.

Τόξο κύκλου λέγεται ένα κομμάτι του κύκλου.                  

Χορδή κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει  δύο σημεία του  κύκλου.

Απόστημα  μιας χορδής AB λέγεται το κάθετο τμήμα ΟΜ από το κέντρο προς αυτήν, που την τέμνει στο μέσον της.

Κυκλικός δίσκος λέγεται ο κύκλος με το επίπεδο που περικλείεται από  αυτόν. 

Ομόκεντροι λέγονται οι κύκλοι που έχουν το ίδιο κέντρο.

Επίκεντρη λέγεται η γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο ενός κύκλου.
Το τόξο που περιέχεται από τις πλευρές της επίκεντρης γωνίας λέγεται αντίστοιχο τόξο. 

ΜΕΤΡΟ ΤΟΞΟΥ- ΓΩΝΙΑΣ.

Το μέτρο της επίκεντρης γωνίας είναι ίσο με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου. π.χ. Αν μία επίκεντρη γωνία έχει μέτρο 50^ο, τότε και το αντίστοιχο τόξο έχει μέτρο 50^ο.   

Δύο τόξα που βρίσκονται στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους μπορούν να συγκριθούν σαν σχήματα (και θα είναι ίσα ή το ένα θα είναι μεγαλύτερο από το άλλο).

Δύο τόξα που βρίσκονται σε άνισους κύκλους δεν συγκρίνονται σαν σχήματα οπότε δεν είναι ούτε ίσα ούτε άνισα. Όμως τα μήκη τους (σε μονάδες μέτρησης μήκους) και τα μέτρα τους (σε μοίρες ή ακτίνια rad) μπορούν να συγκριθούν. 

Σε ίσους κύκλους ή στον ίδιο κύκλο: Ίσες επίκεντρες \( \leftrightarrow  \)  Ίσα τόξα  \( \leftrightarrow  \)  Ίσες χορδές. 

() 

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

Τεθλασμένη λέγεται η γραμμή που αποτελείται από συνεχόμενα ευθύγραμμα τμήματα.                 

Πολύγωνο λέγεται μια κλειστή τεθλασμένη γραμμή.       

Ανάλογα με τις πλευρές ένα πολύγωνο λέγεται: Τρίγωνο, τετράπλευρο, πεντάγωνο, εξάγωνο,...

Διαγώνιος πολυγώνου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο μη γειτονικές κορυφές.  

Αν ένα πολύγωνο έχει ν πλευρές, τότε έχει \( \delta =\cfrac{\nu \left ( \nu -3 \right )}{2} \)     διαγώνιες.

    π.χ. Αν ν=3, τότε δ=0, δεν έχει διαγώνιες.

           Αν \( ν=4\), τότε  \(  \delta =\cfrac{4( 4-3 )}{2}=2\)  διαγώνιες.

          Αν \( ν=5\), τότε  \(  \delta =\cfrac{5( 5-3 )}{2}=5\)  διαγώνιες.