Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Δίνονται οι ανισώσεις:

$$3x-1 \lt x+9$$

και

$$2-\dfrac{x}{2}\leq x+\dfrac{1}{2}.$$

α) Να βρείτε τις λύσεις τους.
(Μονάδες 15)

β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων.
(Μονάδες 10)

α) Είναι:

\begin{align}&3x - 1 < x + 9 \\ \iff&3x - x < 9 + 1 \\ \iff&2x < 10 \\ \iff&x < 5\quad (1)\end{align}

Ισχύει ότι:

\begin{align}&2 - \dfrac{x}{2}\leq x + \dfrac{1}{2} \\ \iff&4 - x \leq 2x + 1 \\ \iff&- 2x - x \leq 1 - 4 \\ \iff&- 3x \leq - 3 \\ \iff&x \geq 1\quad (2)\end{align}

β) Συναληθεύουμε τις ανισώσεις \((1)\) και \((2)\) και βρίσκουμε:

$$1 \leq x < 5 \iff x\in[1, 5)$$

α) Να λύσετε την ανίσωση: \(|x-\dfrac{1}{2}| < 4\).
(Μονάδες 9)

β) Να λύσετε την ανίσωση: \(|x+5|\geq3\).
(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων \((α)\) και \((β)\) με χρήση του άξονα των πραγματικών αριθμών και να τις γράψετε με τη μορφή διαστήματος.
(Μονάδες 7)

α) Είναι:

\begin{align}&|x-\dfrac{1}{2}| < 4 \\ \iff&- 4 < x-\dfrac{1}{2} < 4 \\ \iff&- 4 +\dfrac{1}{2} < x < 4 + \dfrac{1}{2} \\ \iff&- \dfrac{7}{2} < x < \dfrac{9}{2}\end{align}

β) Ισχύει ότι:

\begin{align}&|x + 5| \geq 3 \\ \iff&(x + 5 \leq - 3 \text{ ή } x + 5 \geq 3) \\ \iff&(x \leq - 8 \text{ ή } x \geq - 2)\end{align}

γ) Παριστάνουμε τις λύσεις των ανισώσεων στον ίδιο άξονα αριθμών:

Όπως φαίνεται από το σχήμα, οι κοινές λύσεις των δύο ανισώσεων είναι:

$$- 2 \leq x < \dfrac{9}{2} \iff x\in\left[-2,\dfrac{9}{2}\right)$$

Δίνεται ο πραγματικός αριθμός \(x\) για τον οποίο ισχύει \(|x-3| < 5\).

α) Να δείξετε ότι \(x\in(-2,8)\).
(Μονάδες 9)

β) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του \(x\) για τις οποίες ισχύει \(|x-3| < 5\).
(Μονάδες 7)

γ) Αν \(A\) το σύνολο που έχει στοιχεία τις ακέραιες τιμές του \(x\) που βρήκατε στο (β) ερώτημα και \(B\) το σύνολο με \(B=\{-3,-2,-1,0,3,4\}\), να παραστήσετε τα σύνολα \(A\cup B\) και \(A\cap B\) με αναγραφή των στοιχείων τους.
(Μονάδες 9)

α) \begin{align}&|x-3| < 5\\ \iff&-5 < x-3 <5\\ \iff&-2 < x < 8\\ \iff&x\in(-2,8).\end{align}

β) Οι ακέραιες τιμές του \(x\) για τις οποίες ισχύει \(|x-3| < 5\) είναι οι ακέραιοι αριθμοί που ανήκουν στο διάστημα \((-2, 8)\), δηλαδή οι:

$$-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7.$$

γ) Είναι \(A=\{-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}\) και \(B=\{-3,-2,-1,0,3,4\}\) οπότε:

$$A\cup B=\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}$$

και

$$A\cap B=\{1,0,3,4\}.$$