Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Δίνεται η εξίσωση:

$$(λ^2-9)x=λ^2-3λ\ (1),$$

με παράμετρο \(λ\in\mathbb{R}\).

α) Επιλέγοντας τρείς διαφορετικές πραγματικές τιμές για το \(λ\), να γράψετε τρείς εξισώσεις.

(Μονάδες 6)

β) Να προσδιορίσετε τις τιμές του \(λ\in\mathbb{R}\), ώστε η \((1)\) να έχει μία και μοναδική λύση.

(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε την τιμή του \(λ\in\mathbb{R}\), ώστε η μοναδική λύση της \((1)\) να ισούται με \(4\).

(Μονάδες 10)

α)

• Για \(λ = - 1\), η εξίσωση γράφεται:

\begin{align}&((- 1)^2 - 9)x = (- 1)^2 - 3(- 1) \\ \iff&- 8x = 4\end{align}

• Για \(λ = 0\), η εξίσωση γράφεται:

\begin{align}&(0^2 - 9)x = 0^2 - 3 \cdot 0 \\ \iff&- 9x = 0\end{align}

• Για \(λ = 1\), η εξίσωση γράφεται:

\begin{align}&(1^2 - 9)x = 1^2 - 3 \cdot 1 \\ \iff&- 8x = - 2\end{align}

β) Η εξίσωση \((1)\) έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν:

\begin{align}&λ^2 - 9 \neq 0 \\ \iff&(λ - 3)(λ + 3) \neq 0 \\ \iff&(λ - 3 \neq 0 \text{ και } λ + 3 \neq 0) \\ \iff&(λ \neq 3 \text{ και } λ \neq - 3)\end{align}

γ) Για \(x = 4\) η εξίσωση \((1)\) γράφεται:

\begin{align}&(λ^2 - 9) \cdot 4 = λ^2 - 3λ \\ \iff&4(λ - 3)(λ + 3) = λ(λ - 3) \\ \overset{λ\neq 3}{\iff} &\dfrac{4(λ-3)(λ+3)}{λ-3}=\dfrac{λ(λ-3)}{λ-3} \\ \iff&4(λ + 3) = λ \\ \iff&4λ + 12 = λ \\ \iff&3λ = - 12 \\ \iff&λ = - 4\end{align}

Δίνεται η εξίσωση \((λ-1)x -2λ +2=0.\)
α) i. Να λύσετε την εξίσωση για \(λ=-2.\)  

(Μονάδες 7)

    ii. Να βρείτε τις τιμές του \(λ\) για τις οποίες το \(x=1\) είναι ρίζα της εξίσωσης.   

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις τιμές του \(𝜆\in \Bbb{R}\) για τις οποίες η εξίσωση είναι ταυτότητα. 

(Μονάδες 8)

α)

1. Για \(λ=-2\) η εξίσωση γίνεται \(−3x+6=0\Leftrightarrow −3x=−6 \Leftrightarrow x=2.\)
   Άρα η λύση της εξίσωσης είναι \(x=2.\)
2. Για \(x=1\) η εξίσωση γίνεται:

$$(λ−1)1−2λ+2=0$$ $$\Leftrightarrow λ−1−2λ+2=0$$ $$\Leftrightarrow −𝜆+1=0$$ $$\Leftrightarrow λ=1$$

β) Για να έχουμε ταυτότητα η εξίσωση θα είναι της μορφής \(0x=0\), δηλαδή \(λ-1=0\) και \(2λ-2=0\), επομένως οι δύο εξισώσεις (ως προς \(λ\)) συναληθεύουν για \(λ=1.\)

Δίνεται η εξίσωση

$$(|α-1|-3)x=α+2\quad (1),$$

με παράμετρο \(α\in\mathbb{R}\).

α) Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση για \(α=0\) και \(α=5\).

(Μονάδες 8)

β) i. Να βρείτε για ποιες τιμές του \(α\) ισχύει \(|α-1|=3\).

(Μονάδες 8)

ii. Να λύσετε την εξίσωση \((1)\) για τις τιμές του \(α\) που βρήκατε στο ερώτημα (β.i).

(Μονάδες 9)

α) Για \(α=0\) η εξίσωση γίνεται:

\begin{align}&(|0-1|-3)\cdot x=0+2\\ \iff&(1-3)\cdot x=2\\ \iff&-2x=2\\ \iff& x=-1.\end{align}

Για \(α=5\) η εξίσωση γίνεται:

\begin{align}&(|5-1|-3)\cdot x=5+2\\ \iff&(4-3)\cdot x=7\\ \iff& x=7.\end{align}

β) i. Είναι

\begin{align}&|α-1|=3\\ \iff&α-1=3\text{ ή }α-1=-3\\ \iff&α=4\text{ ή }α=-2.\end{align}

ii. Για \(α=4\) η εξίσωση γίνεται:

\begin{align}&(|4-1|-3)\cdot x=4+2\\ \iff&0\cdot x=6,\end{align}

που είναι αδύνατη.
Για \(α=-2\) η εξίσωση γίνεται:

\begin{align}&(|-2-1|-3)\cdot x=-2+2\\ \iff&0\cdot x=0,\end{align}

που είναι ταυτότητα (Έχει άπειρες λύσεις ως προς \(x\)).

Υποθέτουμε ότι κάθε κεφάλαιο που κατατίθεται σε έναν λογαριασμό μιας τράπεζας, αυξάνεται στο τέλος κάθε έτους κατά \(ε\)% (το επίσημο επιτόκιο αύξησης που δίνει δηλαδή η τράπεζα είναι \(ε\)%).

α) Αποδείξτε ότι αν καταθέσουμε στη συγκεκριμένη τράπεζα κεφάλαιο \(x \)€ με επιτόκιο \(ε\)%, ύστερα από δύο έτη θα εισπράξουμε κεφάλαιο  \( x \cdot \left( 1+ \dfrac{\varepsilon}{100} \right) ^2 \)€.

(Μονάδες 7)

β) Ένα κεφάλαιο \(15.000 \)€ το χωρίζουμε σε δύο ποσά. Το ένα από τα δύο, κατατέθηκε σε μια τράπεζα \(Α\) με επιτόκιο \(2\)% και το άλλο, κατατέθηκε σε μια άλλη τράπεζα \(Β\) με επιτόκιο \(3\)%. Ύστερα από \(2\) χρόνια, εισπράχθηκε, με βάση το (α) ερώτημα, και από τις δύο τράπεζες συνολικό κεφάλαιο \(15.811 \)€. Ονομάζουμε \(y\) το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \(Β\).

i) Να αποδείξετε ότι το ποσό \(y\) είναι λύση της εξίσωσης

$$(1,03^2-1,02^2)\cdot y=15.811-15.000\cdot1,02^2.$$

(Μονάδες 10)

ii) Να βρείτε το κεφάλαιο που κατατέθηκε σε κάθε τράπεζα.

(Μονάδες 8)

α) Αν καταθέσουμε στην τράπεζα κεφάλαιο \(x\) € με επιτόκιο \(ε\)%, τότε στο τέλος του \(1^\text{ου}\) έτους, το κεφάλαιο στην τράπεζα θα είναι

$$x+\frac{ε}{100}\cdot x=x\cdot \Big(1+\frac{ε}{100}\Big).$$

Στο τέλος του \(2^\text{ου}\) έτους, το κεφάλαιο στην τράπεζα θα είναι

\begin{align}&\phantom{=}x\cdot \Big(1+\frac{ε}{100}\Big)+\frac{ε}{100}\cdot x\cdot \Big(1+\frac{ε}{100} \Big)\\ &=x\cdot \Big(1+\frac{ε}{100}\Big)\cdot\Big(1+\frac{ε}{100}\Big)\\ &=x\cdot \Big(1+\frac{ε}{100}\Big)^2.\end{align}

β) i. Αφού ονομάζουμε \(y\) το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \(Β\), έχουμε ότι \(15.000-y\) θα είναι το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \(Α\). Σύμφωνα με το (α) ερώτημα το ποσό που θα υπάρχει στην τράπεζα \(Β\) μετά από δύο έτη θα είναι

$$y\cdot \Big(1+\frac{3}{100}\Big)^2=y\cdot 1,03^2,$$

ενώ το αντίστοιχο ποσό στην τράπεζα \(Α\) θα είναι

$$(15.000-y)\Big(1+\frac{2}{100}\Big)^2=(15.000-y)\cdot1,02^2.$$

Οπότε, θα πρέπει να ισχύει

\begin{align}&y\cdot 1,03^2+(15.000-y)\cdot 1,02^2=15.811\\ \iff& y\cdot1,03^2-y\cdot1,02^2+15.000\cdot1,02^2=15.811\\ \iff& y\cdot(1,03^2-1,02^2)=15.811-15.000\cdot 1,02^2.\end{align}

ii. Η προηγούμενη εξίσωση γράφεται

\begin{align}&y\cdot(1,03-1,02)\cdot(1,03+1,02)=15811-15.000\cdot1,0404\\ \iff& y\cdot 0,01\cdot 2,05=15.811-15.606\\ \iff& y=\frac{205}{0,01\cdot2,05}=\frac{2.050.000}{205}=10.000.\end{align}

Άρα το ποσό που κατατέθηκε στην τράπεζα \(Β\) ήταν \(10.000 \)€, ενώ στην τράπεζα \(Α\) είναι \(5.000 \)€.

Αν γνωρίζουμε ότι ο \(𝑥\) είναι πραγματικός αριθμός με \(3≤𝑥≤5\), τότε:
α) Να αποδείξετε ότι \(𝑥−5≤0<𝑥−2.\)

(Μονάδες 10)

β) Να λύσετε την εξίσωση \(|𝑥 − 2| − |𝑥 − 5| =2.\)

(Μονάδες 15)

α) Αφού \(3≤𝑥≤5\), θα έχουμε \(𝑥−5≤5−5\), άρα \(𝑥−5≤0\).
Ακόμα \(3≤𝑥\), οπότε \(3−2≤𝑥−2\), άρα \(1≤𝑥−2 \Leftrightarrow 𝑥−2>0.\)
β) Γνωρίζουμε ότι αν \(𝑦≥0\), τότε \(|𝑦|=𝑦\), ενώ αν \(𝑦≤0\), τότε \(|𝑦|=− 𝑦\).
Έτσι η δοθείσα εξίσωση γράφεται \(𝑥−2−(5−𝑥)=2\), άρα \(𝑥−2−5+𝑥=2\), οπότε \(2𝑥=9.\)
Τελικά \(𝑥=\dfrac{9}{2}\), λύση η οποία είναι δεκτή, αφού \(\dfrac{9}{2}=4,5 \in [3,5].\)

Δίνεται η παράσταση: \(Α=\dfrac{x^2-1}{x^2-x},\ x\neq0, \ x\neq1.\)

α) Nα δείξετε ότι \(A=\dfrac{x+1}{x}.\)
(Μονάδες 8)

β)
i. Nα βρείτε για ποια τιμή του \(x\) η παράσταση \(A\) μηδενίζεται.

(Μονάδες 8)

ii. Μπορεί η παράσταση \(A\) να πάρει την τιμή \(2\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 9)

α) Έχουμε:

\begin{align} A & =\frac{x^2-1}{x^2-x} \\ & =\frac{(x-1)(x+1)}{x(x-1)} \\ & =\frac{x+1}{x}\end{align}

β)
i. Πρέπει να βρούμε την τιμή του \(x\) για την οποία \(A=0\), δηλαδή \(\dfrac{x+1}{x}=0\), που συμβαίνει όταν \(x+1=0\), δηλαδή όταν \(x=-1.\)

ii. Για να πάρει η παράσταση \(A\) την τιμή \(2\), πρέπει να ισχύουν ισοδύναμα:

$$\frac{x+1}{x}=2$$ $$\Leftrightarrow x+1=2x$$ $$x=1,$$

που δεν είναι αποδεκτή τιμή για το \(x.\)
Άρα, η παράσταση \(A\) δεν μπορεί να πάρει την τιμή \(2.\)

Δίνεται η εξίσωση: \((α+3)x=α^{2}-9\), με παράμετρο \(α\in \mathbb{R}\).

α) Να λύσετε την εξίσωση στις παρακάτω περιπτώσεις:

i.  Όταν \(α = 1\).

(Μονάδες 05)

ii. Όταν \(α = -3\).

(Μονάδες 08)

β) Να βρείτε τις τιμές του \(α\), για τις οποίες η εξίσωση έχει μοναδική λύση και να προσδιορίσετε τη λύση αυτή.

(Μονάδες 12)

α)

1. Για \(α=1\) η εξίσωση γράφεται:

$$(1+3)x=1^{2}-9 $$ $$\Leftrightarrow 4x=-8 $$ $$\Leftrightarrow x=-2$$

2. Για \(α=-3\) η εξίσωση γράφεται:

$$(-3+3)x=(-3)^{2}-9 $$ $$\Leftrightarrow 0x=0\text{,}\ \ \text{ ταυτότητα}$$

β) Η εξίσωση έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν:

$$α+3\ne 0 $$ $$\Leftrightarrow α\ne -3$$

Για την εύρεση της μοναδικής λύσης της εξίσωσης έχουμε:

$$(α+3) x= α^{2} -9 $$ $$\Leftrightarrow (α+3) x= (α+3) (α-3) $$ $$\overset{α\ne -3}{\Leftrightarrow } \dfrac{(α+3)x}{α+3} = \dfrac{(α+3)(α-3)}{α+3} $$ $$\Leftrightarrow x= α -3$$

Δίνονται οι παραστάσεις \(Α=|2x-4|\) και \(B=|x-3|\), με \(x\) πραγματικό αριθμό.

α) Να αποδείξετε ότι αν \(2\le x<3\), τότε \(Α+Β=x-1\).

(Μονάδες 16)

β) Υπάρχει \(x\in [2,3)\) ώστε να ισχύει \(Α+Β=2\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 9)

α) Είναι:

$$2\le x<3 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x\ge 2 \\ x<3 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x\ge 4 \\ x-3<0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x-4\ge 0 \\ x-3<0 \end{cases}$$

Τότε:

$$Α=|2x-4|=2x-4$$

και:

$$B=|x-3|=-(x-3)=3-x$$

Επομένως:

$$Α+Β=2x-4 +3-x=x-1$$

β) Είναι:

$$Α+Β=2 $$ $$\Leftrightarrow x-1=2 $$ $$\Leftrightarrow x=3$$

το οποίο είναι αδύνατο, διότι \(x\in [2,3)\).

Επομένως, δεν υπάρχει \(x\in [2,3)\) ώστε να ισχύει \(Α+Β=2\).