Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Δίνεται η παράσταση:

$$K=\dfrac{\sqrt{x^{2}+4x+4}}{x+2}-\dfrac{\sqrt{x^{2}-6x+9}}{x-3}$$

α) Να βρεθούν οι τιμές που πρέπει να πάρει το \(x\), ώστε η παράσταση \(Κ\) να έχει νόημα πραγματικού αριθμού.

(Μονάδες 12)

β) Αν \(-2<x<3\), να αποδείξετε ότι η παράσταση \(Κ\) είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του \(x\).

(Mονάδες 13)

α) Είναι:

$$\begin{align} K & = \dfrac{\sqrt{x^{2}+4x+4}}{x+2} -\dfrac{\sqrt{x^{2}-6x+9}}{x-3} \\ & = \dfrac{\sqrt{(x+2)^{2}}}{x+2} -\dfrac{\sqrt{(x-3)^{2}}}{x-3} \\ & = \dfrac{|x+2|}{x+2} -\dfrac{|x-3|}{x-3} \end{align}$$

Η παράσταση \(Κ\) έχει νόημα πραγματικού αριθμού αν και μόνο αν:

$$\left\{\begin{array}{ll} x+2 \neq 0 \\ \text{και} \\ x-3 \neq 0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} x \neq -2 \\ \text{και} \\ x \neq 3 \end{array}\right.$$

β) Ισχύει: \(- 2 < x < 3\), οπότε \(x + 2 > 0\) και \(x - 3 < 0.\)
Άρα \(|x + 2| = x + 2\) και \(|x - 3| = - (x - 3).\)
Οπότε:

$$\begin{align} K & =\dfrac{|x+2|}{x+2} -\dfrac{|x-3|}{x-3} \\ & = \dfrac{x+2}{x+2} -\dfrac{-(x-3)}{x-3} \\ &=1+1=2 \end{align}$$

Δίνονται οι αριθμητικές παραστάσεις:

$$Α=\big( \sqrt{2} \big)^{6}, Β=\big( \sqrt[3]{3} \big)^{6}, Γ=\big( \sqrt[6]{6} \big)^{6}.$$</p.

α) Να δείξετε ότι: \(Α+Β+Γ=23.\)

(Μονάδες 13)

β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς: \(\sqrt[3]{3}\) και \(\sqrt[6]{6}.\) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 12)

α)
Είναι:

$$\begin{align} Α + Β + Γ & = \big( \sqrt{2} \big)^{6}+ \big( \sqrt[3]{3} \big)^{6}+ \big( \sqrt[6]{6} \big)^{6} = \big( 2^{\dfrac{1}{2}} \big)^{6} + \big(3^{\dfrac{1}{3}} \big)^{6} +\big( 6^{\dfrac{1}{6}} \big)^{6}\\ & = 2^{\dfrac{6}{2}} + 3^{\dfrac{6}{3}}+6^{\dfrac{6}{6}} \\ & = 2^{3} + 3^{2} + 6 \\ & = 8 + 9 + 6 \\ & = 23\end{align}$$

β) Είναι:

$$\sqrt[3]{3}=3^{\dfrac{1}{3}}=\big( 3^{2} \big)^{\dfrac{1}{6}}=\sqrt[6]{9}$$

Τότε:

$$6 < 9 \Leftrightarrow \sqrt[6]{6} < \sqrt[6]{9} \Leftrightarrow \sqrt[6]{6} <\sqrt[3]{3}$$

Στον πίνακα της τάξης σας είναι γραμμένες οι παρακάτω πληροφορίες (προσεγγίσεις):

\begin{align}&\sqrt{2}\cong 1.41\\ &\sqrt{3}\cong 1.73\\ &\sqrt{5}\cong 2.24\\ &\sqrt{7}\cong 2.64\end{align}

α) Να επιλέξετε έναν τρόπο, ώστε να αξιοποιήσετε τα παραπάνω δεδομένα (όποια θεωρείτε κατάλληλα) και να υπολογίσετε με προσέγγιση εκατοστού τους αριθμούς \(\sqrt{20}, \sqrt{45}\) και \(\sqrt{80}\).

(Μονάδες 12)

β) Αν δεν υπήρχαν στον πίνακα οι προσεγγιστικές τιμές των ριζών πώς θα μπορούσατε να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \(\dfrac{3\sqrt{20}+\sqrt{80}}{\sqrt{45}-\sqrt{5}}\);

(Μονάδες 13)

α) Είναι:

\begin{align}\bullet \sqrt{20} &= \sqrt{4\cdot5}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}\\ &= 2\sqrt{5} \cong 2 \cdot 2.24 = 4.48\\ \bullet \sqrt{45} &= \sqrt{9\cdot5}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{5}\\ &= 3\sqrt{5} \cong 3 \cdot 2.24 = 6.72\\ \bullet \sqrt{80} &= \sqrt{16\cdot5}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{5}\\ &= 4\sqrt{5} \cong 4 \cdot 2.24 = 8.96\end{align}

β) Ισχύει ότι:

\begin{align}&\dfrac{3\sqrt{20}+\sqrt{80}}{\sqrt{45}-\sqrt{5}}\\ =&\dfrac{3\cdot2\sqrt{5}+4\sqrt{5}}{3\sqrt{5}-\sqrt{5}}\\ =&\dfrac{10\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\\ =& 5\end{align}

α) Να δείξετε ότι:

$$3<\sqrt[3]{30}<4$$

(Μονάδες 12)

β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς \(\sqrt[3]{30}\) και \(6 - \sqrt[3]{30}\).

(Μονάδες 13)

α) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:

\begin{align}&3 < \sqrt[3]{30} < 4 \\ \iff&\sqrt[3]{3^3}<\sqrt[3]{30}<\sqrt[3]{4^3} \\ \iff&\sqrt[3]{27}<\sqrt[3]{30}<\sqrt[3]{64} \\ \iff&27 < 30 < 64,\text{ το οποίο ισχύει}\end{align}

β) Έστω ότι \(\sqrt[3]{30} < 6 - \sqrt[3]{30}\). Τότε:

\begin{align}&\sqrt[3]{30} < 6 - \sqrt[3]{30} \\ \iff&2\sqrt[3]{30} < 6 \\ \iff&\sqrt[3]{30} < 3 \\ \iff&(\sqrt[3]{30})^3 < 3^3 \\ \iff&30 < 27,\text{ άτοπο}\end{align}

Άρα \(\sqrt[3]{30} > 6 - \sqrt[3]{30}\).

Δίνεται η παράσταση:

$$Α=\sqrt{1-x}-\sqrt[4]{x^4}$$

α) Για ποιες τιμές του \(x\) ορίζεται η παράσταση \(Α\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του \(x\) σε μορφή διαστήματος.

(Μονάδες 13)

β) Αν \(x= -3\), να αποδείξετε ότι:

$$Α^3+A^2+A+1=0$$

(Μονάδες 12)

α) Πρέπει:

\begin{align}&(1 - x \geq 0 \text{ και } x^4 \geq 0) \\ \iff&(- x \geq - 1 \text{ και } x\in\mathbb{R}) \\ \iff&x \leq 1 \\ \iff&x\in(-\infty, 1]\end{align}

β) Για \(x = - 3\), είναι:

\begin{align}Α &= \sqrt{1-(-3)}-\sqrt[4]{(-3)^4}\\ &=\sqrt{1+3}-\sqrt[4]{3^4}\\ &=\sqrt{4}-3\\ &=2 - 3 \\ &=- 1\end{align}

Τότε:

\begin{align}&Α^3 + A^2 + A + 1\\ =& (- 1)^3 + (- 1)^2 + (- 1) + 1\\ =& - 1 + 1 - 1 + 1\\ =& 0\end{align}

Δίνεται η παράσταση:

$$Β = \sqrt[5]{(x-2)^5}$$

α) Για ποιες τιμές του \(x\) ορίζεται η παράσταση \(Β\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του \(x\) υπό μορφή διαστήματος.

(Μονάδες 13)

β) Για \(x=4\), να αποδείξετε ότι:

$$Β^2+6Β=Β^4$$

(Μονάδες 12)

α) Πρέπει:

\begin{align}&(x - 2)^5 \geq 0 \\ \iff&x - 2 \geq 0 \\ \iff&x \geq 2 \\ \iff&x\in[2, +\infty)\end{align}

β) Για \(x = 4\), είναι:

\begin{align}B &= \sqrt[5]{(4-2)^5}\\ &=\sqrt[5]{2^5}\\ &=2\end{align}

Τότε:

\begin{align}&Β^2 + 6Β\\ =& 2^2 + 6\cdot2\\ =& 4 + 12\\ =& 16\\ =& 2^4\\ =& B^4\end{align}

Δίνονται οι αριθμοί: \(Α=\left(\sqrt{2}\right)^6\) και \(Β=\left(\sqrt[3]{2}\right)^6\)

α) Να δείξετε ότι: \(Α-Β=4\)

(Μονάδες 13)

β) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς:

$$\sqrt{2},\ 1,\ \sqrt[3]{2}$$

(Μονάδες 12)

α) Είναι:

\begin{align}Α - Β &= \left(\sqrt{2}\right)^6-\left(\sqrt[3]{2}\right)^6\\ &=\left[\left(\sqrt{2}\right)^2\right]^3-\left[\left(\sqrt[3]{2}\right)^3\right]^2\\ &=2^3 - 2^2 \\ &=8 - 4 \\ &=4\end{align}

β) Ισχύει ότι:

\begin{align}&1 < 2 \\ \iff&\sqrt[3]{1} < \sqrt[3]{2} \\ \iff&1 < \sqrt[3]{2}\quad (1)\end{align}

και

\begin{align}&Α - Β = 4 > 0 \\ \iff&Α > Β \\ \iff&\left(\sqrt{2}\right)^6> \left(\sqrt[3]{2}\right)^6\\ \iff&\sqrt{2} > \sqrt[3]{2}\quad (2)\end{align}

Από τις ανισώσεις \((1)\) και \((2)\) βρίσκουμε:

$$1 < \sqrt[3]{2} < \sqrt{2}$$

Δίνονται οι αριθμοί \(α=\dfrac{1}{2}(3+\sqrt{5})\) και \(β=\dfrac{1}{2}(3-\sqrt{5})\).

α) Να υπολογίσετε το άθροισμα \(α+β\) και το γινόμενο \(α\cdot β\).

(Μονάδες 12)

β) Να αποδείξετε ότι \(α^2+β^2=7\).

(Μονάδες 13)

α) Είναι:

\begin{align}α+β&=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})+\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})\\ &=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5})\\ &=\frac{6}{2}\\ &=3\end{align}

και

\begin{align}α\cdot β&=\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})\\ &=\frac{1}{4}(3^2-\sqrt{5}^2)\\ &=\frac{1}{4}(9-5)\\ &=\frac{4}{4}\\ &=1.\end{align}

Άρα, \(α+β=3\) και \(α\cdot β=1\).

β) Έχουμε:

\begin{align}α^2+β^2&=\frac{1}{4}(3+\sqrt{5})^2+\frac{1}{4}(3-\sqrt{5})^2\\ &=\frac{1}{4}(9+5+6\sqrt{5}+9+5-6\sqrt{5})\\ &=\frac{1}{4}\cdot 28\\ &=7\end{align}

που είναι το ζητούμενο.

Υπόδειξη για εναλλακτική λύση.
Το ερώτημα (β) μπορεί να αποδειχθεί άμεσα από το (α) με τη βοήθεια της ταυτότητας

$$α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ.$$

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \(α,\ β\) με \(α=1+\sqrt{2}\) και \(β=1-\sqrt{2}\).

α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \(Α=α^2-β^2\).

(Μονάδες 7)

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \(Β=\sqrt{α^2}-\sqrt{β^2}\).

(Μονάδες 8)

γ) Αν \(Α=4\sqrt{2}\) και \(Β=2\), να δείξετε ότι

$$\sqrt{α^2-β^2} > \sqrt{α^2}-\sqrt{β^2}.$$

(Μονάδες 10)

α) Έχουμε

\begin{align}Α&=α^2-β^2\\ &=(α-β)(α+β)\\ &=(1+\sqrt{2}-1+\sqrt{2})\cdot (1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2})\\ &=2\sqrt{2}\cdot 2\\ &=4\sqrt{2}.\end{align}

β) Έχουμε

\begin{align}Β&=\sqrt{α^2}-\sqrt{β^2}\\ &=|α|-|β|\\ &=(1+\sqrt{2})-(\sqrt{2}-1)\\ &=1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+1\\ &=2.\end{align}

γ) Έχουμε ισοδύναμα:

\begin{align}&\sqrt{α^2-β^2} > \sqrt{α^2}-\sqrt{β^2}\\ \overset{\textbf{(α), (β)}}{\iff}&\sqrt{Α} > Β\\ \iff&\sqrt{4\sqrt{2}} > 2\\ \overset{(...)^2>(...)^2}{\Longleftrightarrow}&4\sqrt{2} > 4\\ \iff&\sqrt{2} > 1\\ \iff&2 > 1,\end{align}

που ισχύει.