Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ
Κωδικός : G217121
-
Θεματικές Ενότητες
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\)
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α4. Ταυτότητες
-
Α4. Ταυτότητες - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A5. Παραγοντοποίηση
-
A5. Παραγοντοποίηση - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις)
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α11. Εξισώσεις 2ου βαθμού: \(\alpha x^2+\beta x+\gamma =0\) όπου \(\alpha \neq 0\)
-
Α12. Εξισώσεις που ανάγονται σε 2ου βαθμού
-
Α13. Παραμετρικές Εξισώσεις 2ου βαθμού
-
Α11-12-13. Εξισώσεις 2ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α14. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (βασική μορφή)
-
Α15. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (παραμετρικές)
-
Α16. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές
-
Α17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές (σύνθετες)
-
Α14-15-16-17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α18. Παραγοντοποίηση τριωνύμου
-
Α19. Πρόσημο τριωνύμου
-
Α20. Ανισώσεις \( 2^{ου} \) βαθμού (μορφές \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma >0 \) ή \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma <0, \alpha \neq 0 \) )
-
A21. Ανισώσεις "γινόμενο" και ανισώσεις "πηλίκο"
-
A18-19-20-21. Ανισώσεις \( 2^{ου}\) Βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
Θέματα με απαντήσεις από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ του ΙΕΠ
Θέμα 1287 (ΘΕΜΑ 2o)
Δίνονται οι παραστάσεις: \(Κ=2α^{2}+β^{2}\) και \(Λ=2αβ\), όπου \(α, β \in \Bbb{R}\)
α) Να δείξετε ότι: \(Κ ≥ Λ\), για κάθε τιμή των \(α, β.\)
(Μονάδες 12)
β) Για ποιες τιμές των \(α, β\) ισχύει η ισότητα \(Κ = Λ\);
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 13)
Απάντηση
α) Έχουμε:
$$\begin{align} & Κ ≥ Λ \\ \Leftrightarrow & Κ - Λ ≥ 0 \\ \Leftrightarrow & 2α^{2} + β^{2} - 2αβ ≥ 0 \\ \Leftrightarrow & (α^{2} + α^{2})+ β^{2} - 2αβ ≥ 0 \\ \Leftrightarrow & α^{2} + (α^{2} + β^{2} - 2αβ) ≥ 0 \\ \Leftrightarrow & α^{2} + (α -β)^{2} ≥ 0 \\ & \text{που ισχύει για κάθε } α, β \in \Bbb{R} \end{align}$$
Άρα \(Κ ≥ Λ\), για κάθε τιμή των \(α, β.\)
β) Ισχύει
$$\begin{align} & Κ = Λ \\ \Leftrightarrow & α^{2} + (α -β)^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & α^{2} = 0 \text{ και } (α -β)^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & α = 0 \text{ και } α = β \end{align}$$
Τελικά \(Κ = Λ\) αν και μόνο αν \(α = β = 0.\)
Θέμα 1373 (ΘΕΜΑ 2o)
Δίνονται πραγματικοί αριθμοί \(α, β\), με \(α > 0\) και \(β > 0\).
Να αποδείξετε ότι:
α) \(α+\dfrac{4}{α}\geq4\)
(Μονάδες 12)
β) \(\left(α+\dfrac{4}{α}\right)\left(β+\dfrac{4}{β}\right)\geq 16\)
(Μονάδες 13)
Απάντηση
α) Είναι:
\begin{align}&α + \dfrac{4}{α} \geq 4\\ \overset{α>0}{\iff}&α^2 + 4 \geq 4α \\ \iff&α^2 - 4α + 4 \geq 0 \\ \iff&(α - 2)^2 \geq 0,\text{ το οποίο ισχύει}\end{align}
β) Είναι:
$$α + \dfrac{4}{α} \geq 4,\quad (1)$$
και όμοια αποδεικνύουμε ότι:
$$β + \dfrac{4}{β} \geq 4\quad (2)$$
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \((1)\) και \((2)\) και βρίσκουμε:
$$\Big(α+\dfrac{4}{α}\Big) \Big(β+\dfrac{4}{β} \Big) \geq 16$$
Θέμα 12673 (ΘΕΜΑ 2o)
Έστω \(α,β\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: \(0<α<β.\)
α) Να αποδείξετε ότι \(\dfrac{3}{β} \lt \dfrac{3}{α}\)
(Μονάδες 13)
β) Να αποδείξετε ότι \(α^3+\dfrac{3}{β}<β^3+\dfrac{3}{α}.\)
(Μονάδες 12)
Απάντηση
α) Με \(0<α<β\) έχουμε \(\dfrac{1}{α} \gt \dfrac{1}{β}\), οπότε \(\dfrac{3}{α} \gt \dfrac{3}{β}\).
Επομένως, \(\dfrac{3}{β} \lt \dfrac{3}{α}.\)
β) Με \(0<α<β\) έχουμε \(α^3<β^3.\)
Επιπλέον, από το ερώτημα (α) είναι \(\dfrac{3}{β} \lt \dfrac{3}{α}\), οπότε με πρόσθεση των δυο ανισοτήτων παίρνουμε: \(α^3+\dfrac{3}{β}<β^3+\dfrac{3}{α}\) που είναι το ζητούμενο.
Θέμα 12922 (ΘΕΜΑ 2o)
Δίνονται οι παραστάσεις: \(𝛢=𝛼^2+𝛽^2\) και \(𝛣=2𝛼𝛽, \ α,𝛽 \in \Bbb{R}.\)
α) Να βρείτε τις τιμές των \(α,𝛽 \in \Bbb{R}\) για τις οποίες \(𝛢=0.\)
(Μονάδες 8)
β) Nα αποδείξετε ότι \(𝛢−𝛣≥0\) για κάθε \(α,𝛽 \in \Bbb{R}.\)
(Μονάδες 9)
γ) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των \(α,𝛽 \in \Bbb{R}\) ώστε να ισχύει \(𝛢−𝛣=0.\)
(Μονάδες 8)
Απάντηση
α) Για να ισχύει για την παράσταση \(Α\) ότι: \(𝛢=0\), πρέπει \(𝛼^2+𝛽^2=0\) που ισχύει αν και μόνο αν \(𝛼=0\) και \(𝛽=0.\)
β) Είναι: \(𝛢−𝛣=𝛼^2+𝛽^2−2𝛼𝛽=(𝛼−𝛽)^2≥0\), που ισχύει για το τετράγωνο κάθε αριθμού.
γ) 'Έχουμε: \(𝛢−𝛣=0\Leftrightarrow (𝛼−𝛽)^2=0 \Leftrightarrow 𝛼−𝛽=0 \Leftrightarrow 𝛼=𝛽.\)
Θέμα 13266 (ΘΕΜΑ 2o)
Δίνονται οι παραστάσεις \(A=α^2+4α+5\) και \(B=(2β+1)^2-1\), με \(α,β\in\mathbb{R}\).
α) Να δείξετε ότι για κάθε \(α,β\in\mathbb{R}\) ισχύει \(A=(α+2)^2+1\).
(Μονάδες 8)
β) i. Να δείξετε ότι \(A+B\geq 0\).
(Μονάδες 9)
ii. Για ποιες τιμές των \(α, β\in\mathbb{R}\) ισχύει \(A+B=0\);
(Μονάδες 8)
Απάντηση
α) Ξεκινώντας από το δεύτερο μέλος της ισότητας έχουμε:
\begin{align}(α+2)^2+1&=α^2+4α+4+1\\ &=α^2+4α+5\\ &=A.\end{align}
β) i. Ισοδύναμα έχουμε ότι:
\begin{align}&A+B\geq 0\\ \iff&(α+2)^2+1+(2β+1)^2-1\geq 0\\ \iff&(α+2)^2+(2β+1)^2\geq 0,\end{align}
που ισχύει ως άθροισμα τετραγώνων.
ii. Από το ερώτημα (β.i) βλέπουμε ότι η ισότητα ισχύει για
$$(α+2)^2+(2β+1)^2=0$$
η οποία ισχύει για:
\begin{align}&\{(α+2)^2=0\text{ και }(2β+1)^2=0\} \\ \iff& \{α=-2\text{ και }β=-\frac{1}{2}\}.\end{align}
Θέμα 13328 (ΘΕΜΑ 2o)
α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(x,y\) ισχύει:
$$(x-1)^2+(y+4)^2=x^2+y^2-2x+8y+17$$
(Μονάδες 12)
β) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) και \(y\) ώστε: $$x^2+y^2-2x+8y+17=0.$$
(Μονάδες 13)
Απάντηση
α) Για να αποδείξουμε την ζητούμενη ισότητα, θα χρησιμοποιήσουμε ευθεία απόδειξη. Έχουμε λοιπόν:
$$(x-1)^2+(y+4)^2 =(x^2-2x+1)+(y^2+8y+16)$$ $$=x^2+y^2-2x+8y+17$$
β) Έχουμε διαδοχικά:
$$x^2+y^2-2x+8y+17=0$$ $$\overset{(α)}{\Leftrightarrow}(x-1)^2+(y+4)^2=0$$ $$\Leftrightarrow (x-1)^2=0 \text{ και }(y+4)^2=0$$ $$\Leftrightarrow x-1=0 \text{ και }y+4=0$$ $$\Leftrightarrow x=1 \text{ και } y=-4$$
Θέμα 35040 (ΘΕΜΑ 2o)
Δίνονται οι παραστάσεις: \(Κ=2α^{2}+β^{2}+9\) και \(Λ=2α(3-β)\), όπου \(α\), \(β\in \mathbb{R}\).
α) Να δείξετε ότι: \(Κ-Λ=(α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)\).
(Μονάδες 3)
β) Να δείξετε ότι: \(Κ\ge Λ\), για κάθε τιμή των \(α\), \(β\).
(Μονάδες 10)
γ) Για ποιες τιμές των \(α\), \(β\) ισχύει η ισότητα \(Κ=Λ\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 12)
Απάντηση
α) Είναι:
$$Κ-Λ=2α^{2}+β^{2}+9-2α(3-β)$$ $$= 2α^{2}+β^{2}+9-(6α-2αβ)$$ $$=α^{2}+α^{2}+β^{2}+9-6α+2αβ$$ $$=(α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)$$
β) Ισοδύναμα και διαδοχικά ισχύει ότι:
$$Κ\ge Λ $$ $$\Leftrightarrow Κ-Λ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (α+β)^{2}+(α-3)^{2}\ge 0$$
το οποίο ισχύει για κάθε τιμή των \(α\), \(β\).
γ) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:
$$Κ=Λ $$ $$\Leftrightarrow Κ-Λ=0 $$ $$\Leftrightarrow (α+β)^{2}+(α-3)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (α+β)^{2}=0 \\ (α-3)^{2}=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α+β=0 \\ α-3=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α=-β \\ α=3 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α=3 \\ β=-3 \end{cases}$$