Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Δίνονται οι παραστάσεις: \(Κ=2α^{2}+β^{2}\) και \(Λ=2αβ\), όπου \(α, β \in \Bbb{R}\)

α) Να δείξετε ότι: \(Κ ≥ Λ\), για κάθε τιμή των \(α, β.\)

(Μονάδες 12)

β) Για ποιες τιμές των \(α, β\) ισχύει η ισότητα \(Κ = Λ\);
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 13)

α) Έχουμε:

$$\begin{align} & Κ ≥ Λ \\ \Leftrightarrow & Κ - Λ ≥ 0 \\ \Leftrightarrow & 2α^{2} + β^{2} - 2αβ ≥ 0 \\ \Leftrightarrow & (α^{2} + α^{2})+ β^{2} - 2αβ ≥ 0 \\ \Leftrightarrow & α^{2} + (α^{2} + β^{2} - 2αβ) ≥ 0 \\ \Leftrightarrow & α^{2} + (α -β)^{2} ≥ 0 \\ & \text{που ισχύει για κάθε } α, β \in \Bbb{R} \end{align}$$

Άρα \(Κ ≥ Λ\), για κάθε τιμή των \(α, β.\)

β) Ισχύει

$$\begin{align} & Κ = Λ \\ \Leftrightarrow & α^{2} + (α -β)^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & α^{2} = 0 \text{ και } (α -β)^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow & α = 0 \text{ και } α = β \end{align}$$

Τελικά \(Κ = Λ\) αν και μόνο αν \(α = β = 0.\)

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί \(α, β\), με \(α > 0\) και \(β > 0\).
Να αποδείξετε ότι:

α) \(α+\dfrac{4}{α}\geq4\)

(Μονάδες 12)

β) \(\left(α+\dfrac{4}{α}\right)\left(β+\dfrac{4}{β}\right)\geq 16\)

(Μονάδες 13)

α) Είναι:

\begin{align}&α + \dfrac{4}{α} \geq 4\\ \overset{α>0}{\iff}&α^2 + 4 \geq 4α \\ \iff&α^2 - 4α + 4 \geq 0 \\ \iff&(α - 2)^2 \geq 0,\text{ το οποίο ισχύει}\end{align}

β) Είναι:

$$α + \dfrac{4}{α} \geq 4,\quad (1)$$

και όμοια αποδεικνύουμε ότι:

$$β + \dfrac{4}{β} \geq 4\quad (2)$$

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \((1)\) και \((2)\) και βρίσκουμε:

$$\Big(α+\dfrac{4}{α}\Big) \Big(β+\dfrac{4}{β} \Big) \geq 16$$

Έστω \(α,β\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: \(0<α<β.\)
α) Να αποδείξετε ότι \(\dfrac{3}{β} \lt \dfrac{3}{α}\)

(Μονάδες 13)

β) Να αποδείξετε ότι \(α^3+\dfrac{3}{β}<β^3+\dfrac{3}{α}.\)

(Μονάδες 12)

α) Με \(0<α<β\) έχουμε \(\dfrac{1}{α} \gt \dfrac{1}{β}\), οπότε \(\dfrac{3}{α} \gt \dfrac{3}{β}\).
Επομένως, \(\dfrac{3}{β} \lt \dfrac{3}{α}.\)

β) Με \(0<α<β\) έχουμε \(α^3<β^3.\)
Επιπλέον, από το ερώτημα (α) είναι \(\dfrac{3}{β} \lt \dfrac{3}{α}\), οπότε με πρόσθεση των δυο ανισοτήτων παίρνουμε: \(α^3+\dfrac{3}{β}<β^3+\dfrac{3}{α}\) που είναι το ζητούμενο.

Δίνονται οι παραστάσεις: \(𝛢=𝛼^2+𝛽^2\) και \(𝛣=2𝛼𝛽, \ α,𝛽 \in \Bbb{R}.\)
α) Να βρείτε τις τιμές των \(α,𝛽 \in \Bbb{R}\) για τις οποίες \(𝛢=0.\)

(Μονάδες 8)

β) Nα αποδείξετε ότι \(𝛢−𝛣≥0\) για κάθε \(α,𝛽 \in \Bbb{R}.\)

(Μονάδες 9)

γ) Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των \(α,𝛽 \in \Bbb{R}\) ώστε να ισχύει \(𝛢−𝛣=0.\)

(Μονάδες 8)

α) Για να ισχύει για την παράσταση \(Α\) ότι: \(𝛢=0\), πρέπει \(𝛼^2+𝛽^2=0\) που ισχύει αν και μόνο αν \(𝛼=0\) και \(𝛽=0.\)

β) Είναι: \(𝛢−𝛣=𝛼^2+𝛽^2−2𝛼𝛽=(𝛼−𝛽)^2≥0\), που ισχύει για το τετράγωνο κάθε αριθμού.

γ) 'Έχουμε: \(𝛢−𝛣=0\Leftrightarrow (𝛼−𝛽)^2=0 \Leftrightarrow 𝛼−𝛽=0 \Leftrightarrow 𝛼=𝛽.\)

Δίνονται οι παραστάσεις \(A=α^2+4α+5\) και \(B=(2β+1)^2-1\), με \(α,β\in\mathbb{R}\).
α) Να δείξετε ότι για κάθε \(α,β\in\mathbb{R}\) ισχύει \(A=(α+2)^2+1\).

(Μονάδες 8)

β) i. Να δείξετε ότι \(A+B\geq 0\).

(Μονάδες 9)

ii. Για ποιες τιμές των \(α, β\in\mathbb{R}\) ισχύει \(A+B=0\);

(Μονάδες 8)

α) Ξεκινώντας από το δεύτερο μέλος της ισότητας έχουμε:

\begin{align}(α+2)^2+1&=α^2+4α+4+1\\ &=α^2+4α+5\\ &=A.\end{align}

β) i. Ισοδύναμα έχουμε ότι:

\begin{align}&A+B\geq 0\\ \iff&(α+2)^2+1+(2β+1)^2-1\geq 0\\ \iff&(α+2)^2+(2β+1)^2\geq 0,\end{align}

που ισχύει ως άθροισμα τετραγώνων.
ii. Από το ερώτημα (β.i) βλέπουμε ότι η ισότητα ισχύει για

$$(α+2)^2+(2β+1)^2=0$$

η οποία ισχύει για:

\begin{align}&\{(α+2)^2=0\text{ και }(2β+1)^2=0\} \\ \iff& \{α=-2\text{ και }β=-\frac{1}{2}\}.\end{align}

α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς \(x,y\) ισχύει:

$$(x-1)^2+(y+4)^2=x^2+y^2-2x+8y+17$$ 

(Μονάδες 12)

β) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) και \(y\) ώστε:  $$x^2+y^2-2x+8y+17=0.$$

(Μονάδες 13)

α) Για να αποδείξουμε την ζητούμενη ισότητα, θα χρησιμοποιήσουμε ευθεία απόδειξη. Έχουμε λοιπόν:

$$(x-1)^2+(y+4)^2 =(x^2-2x+1)+(y^2+8y+16)$$ $$=x^2+y^2-2x+8y+17$$

β) Έχουμε διαδοχικά:

$$x^2+y^2-2x+8y+17=0$$ $$\overset{(α)}{\Leftrightarrow}(x-1)^2+(y+4)^2=0$$ $$\Leftrightarrow (x-1)^2=0 \text{ και }(y+4)^2=0$$ $$\Leftrightarrow x-1=0 \text{ και }y+4=0$$ $$\Leftrightarrow x=1 \text{ και } y=-4$$

Δίνονται οι παραστάσεις: \(Κ=2α^{2}+β^{2}+9\) και \(Λ=2α(3-β)\), όπου \(α\), \(β\in \mathbb{R}\).

α) Να δείξετε ότι: \(Κ-Λ=(α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)\).

(Μονάδες 3)

β) Να δείξετε ότι: \(Κ\ge Λ\), για κάθε τιμή των \(α\), \(β\).

(Μονάδες 10)

γ) Για ποιες τιμές των \(α\), \(β\) ισχύει η ισότητα \(Κ=Λ\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

(Μονάδες 12)

α) Είναι:

$$Κ-Λ=2α^{2}+β^{2}+9-2α(3-β)$$ $$= 2α^{2}+β^{2}+9-(6α-2αβ)$$ $$=α^{2}+α^{2}+β^{2}+9-6α+2αβ$$ $$=(α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)$$

β) Ισοδύναμα και διαδοχικά ισχύει ότι:

$$Κ\ge Λ $$ $$\Leftrightarrow Κ-Λ\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (α^{2}+2αβ+β^{2})+(α^{2}-6α+9)\ge 0 $$ $$\Leftrightarrow (α+β)^{2}+(α-3)^{2}\ge 0$$

το οποίο ισχύει για κάθε τιμή των \(α\), \(β\).

γ) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:

$$Κ=Λ $$ $$\Leftrightarrow Κ-Λ=0 $$ $$\Leftrightarrow (α+β)^{2}+(α-3)^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (α+β)^{2}=0 \\ (α-3)^{2}=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α+β=0 \\ α-3=0 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α=-β \\ α=3 \end{cases}$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α=3 \\ β=-3 \end{cases}$$