Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\) με την ιδιότητα \(5< x< 10\),

α) να γράψετε τις παραστάσεις \(|x−5|\) και \(|x-10|\) χωρίς απόλυτες τιμές.
(Μονάδες 10)

β) να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

$$A=\dfrac{|x-5|}{x-5}+\dfrac{|x-10|}{x-10}$$

α) Ισχύει ότι:

$$\begin{align} 5 < x < 10 & \Leftrightarrow ( 5 < x \text{ και } x < 10 ) \\ & \Leftrightarrow ( 0 < x - 5 \text{ και } x - 10 < 0 ) \end{align}$$

Τότε: \(|x - 5| = x - 5\) και \(|x - 10| = - (x - 10).\)

β) Είναι:

$$\begin{align} Α & = \dfrac{|x-5|}{x-5}+\dfrac{|x-10|}{x-10} \\ & = \dfrac{x-5}{x-5}+\dfrac{-(x-10)}{x-10} \\ & = 1 + (- 1) = 0 \end{align}$$

α) Αν \(α< 0\), να αποδειχθεί ότι: \(α+\dfrac{1}{α}\leq-2\).
(Μονάδες 15)

β) Αν \(α< 0\), να αποδειχθεί ότι: \(|α|+|\dfrac{1}{α}|\geq2\)
(Μονάδες 10)

α) Για κάθε \(α < 0\), έχουμε ισοδύναμα:

\begin{align}&α + \dfrac{1}{α} \leq - 2 \\ \iff&α^2 + 1 \geq - 2α \\ \iff&α^2 + 2α + 1 \geq 0 \\ \iff&(α + 1)^2 \geq 0,\text{ ισχύει.}\end{align}

β) Αφού \(α < 0\) είναι \(|α| = - α\). Τότε η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε γράφεται ισοδύναμα:

\begin{align}&|α| + |\dfrac{1}{α}| \geq 2 \\ \iff&- α - \dfrac{1}{α} \geq 2 \\ \iff&α + \dfrac{1}{α} \leq - 2,\end{align}

ισχύει από σκέλος (α).

α) Αν \(α, β \in\mathbb{R}-\{0\}\), να αποδειχθεί ότι:

$$|\dfrac{α}{β}|+|\dfrac{β}{α}|\geq 2\quad (1)$$

(Μονάδες 15)

β) Πότε ισχύει η ισότητα στην \((1)\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 10)

α) Είναι:

\begin{align}&|\dfrac{α}{β}|+|\dfrac{β}{α}| \geq 2 \\ \iff&\dfrac{|α|}{|β|}+\dfrac{|β|}{|α|} \geq 2 \\ \iff&\dfrac{|α|^2+|β|^2}{|α|\cdot|β|} \geq 2 \\ \iff&|α|^2 + |β|^2 \geq 2|α|\cdot|β| \\ \iff&|α|^2 + |β|^2 - 2|α|\cdot|β| \geq 0 \\ \iff&(|α| - |β|)^2 \geq 0,\text{ ισχύει}\end{align}

β) Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν:

\begin{align}&(|α| - |β|)^2 = 0 \\ \iff&|α| - |β| = 0 \\ \iff&|α| = |β| \\ \iff&(α = β\text{ ή }α = - β),\end{align}

δηλαδή όταν οι αριθμοί είναι ίσοι ή αντίθετοι.

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί \(α, β\), με \(α > 0\) και \(β > 0\).
Να αποδείξετε ότι:

α) \(α+\dfrac{4}{α}\geq4\)
(Μονάδες 12)

β) \(\left(α+\dfrac{4}{α}\right)\left(β+\dfrac{4}{β}\right)\geq 16\)
(Μονάδες 13)

α) Είναι:

\begin{align}&α + \dfrac{4}{α} \geq 4\\ \overset{α>0}{\iff}&α^2 + 4 \geq 4α \\ \iff&α^2 - 4α + 4 \geq 0 \\ \iff&(α - 2)^2 \geq 0,\text{ το οποίο ισχύει}\end{align}

β) Είναι:

$$α + \dfrac{4}{α} \geq 4,\quad (1)$$

και όμοια αποδεικνύουμε ότι:

$$β + \dfrac{4}{β} \geq 4\quad (2)$$

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \((1)\) και \((2)\) και βρίσκουμε:

$$\Big(α+\dfrac{4}{α}\Big) \Big(β+\dfrac{4}{β} \Big) \geq 16$$

Δίνεται η παράσταση:

$$A=|x-1|+|y-3|,$$

με \(x, y\) πραγματικούς αριθμούς, για τους οποίους ισχύει:

$$1 < x < 4$$

και

$$2 < y < 3.$$

Να αποδείξετε ότι:
α) \(A=x-y+2.\)
(Μονάδες 12)

β) \(0 < A < 4.\)
(Μονάδες 13)

α) Είναι:

\begin{align}&1 < x < 4 \\ \iff&(1 < x \text{ και } x < 4) \\ \iff&(0 < x - 1 \text{ και } x < 4)\end{align}

Άρα

$$|x - 1| = x - 1$$

Ισχύει ακόμη ότι:

\begin{align}&2 < y < 3 \\ \iff&(2 < y \text{ και } y < 3) \\ \iff&(2 < y \text{ και } y - 3 < 0)\end{align}

Άρα

$$|y - 3| = - (y - 3) = 3 - y$$

Τότε:

\begin{align}Α &= |x - 1| + |y - 3| \\ &= x - 1 + 3 - y \\ &= x - y + 2\end{align}

β) Είναι

$$1 < x < 4\quad (1)$$

και:

\begin{align}&2 < y < 3 \\ \iff&- 2 > - y > - 3 \\ \iff&- 3 < - y < - 2 \\ \iff&- 3 + 2 < - y + 2 < - 2 + 2 \\ \iff&- 1 < - y + 2 < 0\quad (2)\end{align}

Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανισώσεις \((1)\) και \((2)\) και βρίσκουμε:

\begin{align}&1 - 1 < x - y + 2 < 0 + 4 \\ \iff&0 < x - y + 2 < 4\end{align}

Δίνονται τα σημεία \(Α, Β\) και \(Μ\) που παριστάνουν στον άξονα των πραγματικών αριθμών τους αριθμούς \(-2, 7\) και \(x\) αντίστοιχα, με \(-2 < x < 7\).

α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων.
i) \(|x+2|\)
(Μονάδες 4)

ii) \(|x-7|\)
(Μονάδες 4)

β) Με τη βοήθεια του άξονα να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του αθροίσματος:

$$|x+2|+|x-7|$$

(Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε την τιμή της παράστασης \(A=|x+2|+|x-7|\) γεωμετρικά.
(Μονάδες 5)

δ) Να επιβεβαιώσετε αλγεβρικά το προηγούμενο συμπέρασμα.
(Μονάδες 7)

α) i) \(|x + 2| = |x - (- 2)| = d(x, - 2) = MA\)

ii) \(|x - 7| = d(x, 7) = MB\)

β) \(|x + 2| + |x - 7| = ΜΑ + ΜΒ = AB\)

γ) Ισχύει ότι:

\begin{align}&|x + 2| + |x - 7| \\ = &AB \\ = &d(7, - 2) \\ = &|7 - (- 2)| \\ = &|9| = 9\end{align}

δ) Είναι:

\begin{align}&x > - 2 \\ \iff &x + 2 > 0\\ \Longrightarrow\ &|x + 2| = x + 2.\end{align}

Επίσης:

\begin{align}&x < 7 \\ \iff&x - 7 < 0\\ \Longrightarrow\ &|x - 7| = - (x - 7) = 7 - x\end{align}

Τότε:

\begin{align}Α &= |x + 2| + |x - 7|\\ &= x + 2 + 7 - x \\ &= 9\end{align}

Σε έναν άξονα τα σημεία \(Α, Β\) και \(Μ\) αντιστοιχούν στους αριθμούς \(5, 9\) και \(x\) αντίστοιχα.

α) Να διατυπώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία των παραστάσεων \(|x-5|\) και \(|x-9|\).
(Μονάδες 10)

β) Αν ισχύει \(|x-5|=|x-9|\),

i) Ποια γεωμετρική ιδιότητα του σημείου \(Μ\) αναγνωρίζετε; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 7)

ii) Με χρήση του άξονα, να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό \(x\) που παριστάνει το σημείο \(Μ\). Να επιβεβαιώσετε με αλγεβρικό τρόπο την απάντησή σας.
(Μονάδες 8)

α)

\begin{align}&|x - 5| = d(x, 5) = MA\\ &|x - 9| = d(x, 9) = MB\end{align}

β) i) Από την ισότητα \(|x - 5| = |x - 9|\) συμπεραίνουμε ότι \(ΜΑ = ΜΒ\), δηλαδή το σημείο \(Μ\) είναι το μέσο του \(ΑΒ\).

ii) Είναι:

$$ΑΒ = d(5, 9) = |5 - 9| = 4\text{ μονάδες}$$

Επομένως το σημείο \(Μ\) απέχει \(2\) μονάδες από το σημείο \(Α(5)\) και \(2\) μονάδες από το σημείο \(Β(9)\), οπότε \(x =7\).
Αλγεβρικά:

\begin{align}&|x - 5| = |x - 9| \\ \iff&(x - 5 = x - 9 \text{ ή } x - 5 = - (x - 9)) \\ \iff&(0x = - 4\text{ αδύνατη ή } x - 5 = - x + 9) \\ \iff&2x = 14 \\ \iff&x = 7\end{align}

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \(α,β\) για τους οποίους ισχύει \(1\leq β\leq 2\) και \(2\leq α\leq 4\).

α) i. Με τη βοήθεια του άξονα των πραγματικών αριθμών να δείξετε ότι η απόσταση των \(α\) και \(β\) είναι μικρότερη ή ίση του \(3\).
(Μονάδες 7)
ii. Να αποδείξετε αλγεβρικά την απάντηση στο i. ερώτημα
(Μονάδες 7)

β) i. Να δείξετε ότι \(\dfrac{β}{α}\leq1\leq\dfrac{α}{β}\).
(Μονάδες 5)
ii. Nα βρείτε τους αριθμούς \(α\) και \(β\) για τους οποίους ισχύει

$$|1-\dfrac{β}{α}|=|\dfrac{α}{β}-1|.$$

(Μονάδες 6)

α) Η απόσταση \(d(α,β)=|α-β|\) των αριθμών \(α\) και \(β\) πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

i. Από τον άξονα και αφού ο \(β\) δεν μπορεί να πάρει τιμή μικρότερη (πιο αριστερά) του \(1\) και ο \(α\) δεν μπορεί να πάρει τιμή μεγαλύτερη (πιο δεξιά) του \(4\), συμπεραίνουμε ότι η μεγαλύτερη τιμή της \(d(α,β)\) είναι \(3\) (μάλιστα \(d(α,β)=3\) όταν \(β=1\) και \(α=4\)), δηλαδή \(d(α,β)\leq 3\).
ii. Είναι

\begin{align}&1\leq β\leq 2\\ \iff&-1\geq β\geq -2\\ \iff&-2\leq β\leq -1.\end{align}

Με πρόσθεση κατά μέλη των \(2\leq α\leq 4\) και \(-2\leq -β\leq -1\) έχουμε ότι

\begin{align}&2-2\leq α-β\leq 4-1\\ \iff&0\leq α-β\leq 3.\end{align}

Αφού \(0\leq α-β\) είναι \(|α-β|=α-β\leq 3\) οπότε \(d(α,β)\leq 3\).

β) i. Δεδομένου ότι \(1\leq β\leq 2\) και \(2\leq α\leq 4\) έχουμε ότι οι αριθμοί \(α, β\) είναι θετικοί και αφού \(β\leq 2\leq α\) είναι και \(β\leq α\).
Έτσι αφού \(β\leq α\) και \(β > 0\) έχουμε ότι \(\dfrac{β}{β}\leq\dfrac{α}{β}\) δηλαδή \(1\leq\dfrac{α}{β}\).
Επίσης αφού \(β\leq α\) και \(α > 0\) έχουμε ότι \(\dfrac{β}{α}\leq\dfrac{α}{α}\) δηλαδή \(\dfrac{β}{α}\leq 1\).
Τελικά \(\dfrac{β}{α}\leq 1\leq\dfrac{α}{β}\).

2. Αφού δείξαμε ότι \(\dfrac{β}{α}\leq 1\leq\dfrac{α}{β}\) έχουμε ότι \(1-\dfrac{β}{α}\geq 0\) οπότε \(|1-\dfrac{β}{α}|=1-\dfrac{β}{α}\) και \(\dfrac{α}{β}-1\geq 0\) οπότε \(|\dfrac{α}{β}-1|=\dfrac{α}{β}-1\).
   Συνεπώς

\begin{align}&|1-\dfrac{β}{α}|=|\dfrac{α}{β}-1|\\ \iff&1-\dfrac{β}{α}=\dfrac{α}{β}-1\\ \iff&αβ-αβ\cdot\dfrac{β}{α}=αβ\cdot\dfrac{α}{β}-αβ\\ \iff&αβ-β^2=α^2-αβ\\ \iff&0=α^2-2αβ+β^2\\ \iff&0=(α-β)^2\\ \iff&α=β.\end{align}

Όμως \(1\leq β\leq 2\leq α\leq 4\), οπότε για να είναι \(α=β\) θα πρέπει \(α=β=2\).

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \(α\) και \(β\) για τους οποίους ισχύει:

$$(α-1)(1-β)>0$$

α) Να δείξετε ότι το \(1\) είναι μεταξύ των \(α\) και \(β\).
(Μονάδες13)

β) Αν επιπλέον \(|β-α|=4\), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης

$$Κ=|α-1|+|1-β|$$

(Μονάδες 12)

α) Αφού \((α-1)(1-β)>0\), οι \((α-1)\) και \((1-β)\) είναι ομόσημοι, οπότε:

$$\begin{cases} α-1>0 \\ \text{και} \\ 1-β>0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α>1 \\ \text{και} \\ β<1 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow β<1<α$$

ή

$$\begin{cases} α-1<0 \\ \text{και} \\ 1-β<0 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} α<1 \\ \text{και} \\ β>1 \end{cases} $$ $$\Leftrightarrow α<1<β$$

Σε κάθε περίπτωση το \(1\) είναι μεταξύ των \(α\) και \(β\).

β) Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις:

1. Αν \(β<1<α\), τότε:
   \(0<α-1 \Rightarrow |α-1|=α-1\),
   \(0<1-β \Rightarrow |1-β|=1-β\) και
   \(β-α<0 \Rightarrow |β-α|=α-β\) άρα,
   \(|β-α|=4 \Leftrightarrow α-β=4\).
   Οπότε: \(Κ=|α-1|+|1-β|=α-1+1-β=α-β=4\).

2. Αν \(α<1<β\), τότε:
   \(α-1<0 \Rightarrow |α-1|=1-α\),
   \(1-β<0 \Rightarrow |1-β|=β-1\) και
   \(β-α>0 \Rightarrow |β-α|=β-α\) άρα,
   \(|β-α|=4 \Leftrightarrow β-α=4\).
   Οπότε: \(Κ=|α-1|+|1-β|=1-α+β-1=β-α=4\).

Για τον πραγματικό αριθμό \(x\) ισχύει: \(d(2x,3)=3-2x\).

α) Να αποδείξετε ότι \(x\le \dfrac{3}{2}\).
(Μονάδες 12)

β) Αν \(x\le \dfrac{3}{2}\), να αποδείξετε ότι η παράσταση: \(Κ=|2x-3|-2|3-x|\) είναι ανεξάρτητη του \(x\).
(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ

α) Είναι:

$$d(2x,3)=3-2x $$ $$\Leftrightarrow |2x-3|=3-2x $$ $$\Leftrightarrow |2x-3|=-(2x-3)\ \ \ \ (1)$$

Γνωρίζουμε ότι:

$$|α|=-α $$ $$\Leftrightarrow α\le 0$$

Τότε από τη σχέση \((1)\) ισοδύναμα βρίσκουμε:

$$|2x-3|=-(2x-3) $$ $$\Leftrightarrow 2x-3\le 0 $$ $$\Leftrightarrow x\le \dfrac{3}{2}$$

β) Επειδή ισχύει \(x\le \dfrac{3}{2}\) είναι \(2x-3\le 0\) και \(3-x>0\). Τότε:

$$|2x-3|=-(2x-3)\ \ \text{και}\ \ |3-x|=3-x$$

Επομένως η παράσταση \(Κ\) γράφεται:

$$Κ=|2x-3|-2|3-x|$$ $$=-(2x-3)-2(3-x)$$ $$=3-2x-6+2x=-3$$