Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \(α, β, γ, δ\) με \(β \neq 0\) και \(δ \neq γ\) ώστε να ισχύουν:

$$\dfrac{α+β}{β}=4 \text{ και } \dfrac{γ}{δ-γ}=\dfrac{1}{4}$$

α) Να αποδείξετε ότι \(α=3β\) και \(δ=5γ\)

(Μονάδες 10)

β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης:

$$Π = \dfrac{αγ+βγ}{βδ-βγ}$$

α) Είναι:

$$\dfrac{α+β}{β}=4$$ $$\Leftrightarrow α+β=4β$$ $$α=3β$$

$$\dfrac{γ}{δ-γ}=\dfrac{1}{4}$$ $$\Leftrightarrow 4γ = δ - γ$$ $$\Leftrightarrow δ = 5γ$$

β) Για \(α = 3β\) και \(δ = 5γ\) η παράσταση \(Π\) γράφεται:

$$Π = \dfrac{αγ+βγ}{βδ−βγ}$$ $$=\dfrac{3βγ+βγ}{β \cdot 5γ−βγ}$$ $$=\dfrac{4βγ}{4βγ} = 1$$

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς \(α,β≠0\), ισχύει ότι:

$$(α+β)\Big(\dfrac{1}{α}+\dfrac{1}{β}\Big)=4$$

τότε να αποδείξετε ότι:
α) \(\dfrac{α}{β}+\dfrac{β}{α}=2.\)

(Μονάδες 12)

β) \(α=β.\)

(Μονάδες 13)

α) Κάνοντας πράξεις στη δοθείσα σχέση έχουμε διαδοχικά:

$$α\cdot \frac{1}{α}+α\cdot \dfrac{1}{β}+β \cdot \dfrac{1}{α}+β \cdot \dfrac{1}{β}=4$$ $$\Leftrightarrow 1+ \dfrac{α}{β}+\dfrac{β}{α}+1=4$$ $$\Leftrightarrow \dfrac{α}{β}+\dfrac{β}{α}=2$$

το οποίο είναι το ζητούμενο.

β) Από το ερώτημα (α) έχουμε:

$$\dfrac{α}{β}+\dfrac{β}{α}=2$$ $$\Leftrightarrow α^2+β^2=2αβ$$ $$\Leftrightarrow α^2-2αβ+β^2=0$$ $$\Leftrightarrow (α-β)^2=0$$ $$\Leftrightarrow α-β=0$$ $$\Leftrightarrow α=β$$

Έστω \(α,\ β,\ γ\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν \(α+β+γ=0\) και \(αβγ\neq0\).

α) Να αποδείξετε ότι

   i.   \(β+γ=-α\).(Μονάδες 6)

   ii.   \(\dfrac{α^2}{β+γ}=-α\).

(Μονάδες 6)

β) Με παρόμοιο τρόπο να απλοποιήσετε τα κλάσματα \(\dfrac{β^2}{γ+α},\ \dfrac{γ^2}{α+β}\) και να αποδείξετε ότι

$$\frac{α^2}{β+γ}+\frac{β^2}{γ+α}+\frac{γ^2}{α+β}=0.$$

(Μονάδες 13)

α) i. Από την ισότητα \(α+β+γ=0\), προκύπτει ότι \(β+γ=-α\), που είναι το ζητούμενο.
ii. Mε τη βοήθεια του προηγούμενου υποερωτήματος, έχουμε:

$$\frac{α^2}{β+γ}=\frac{α^2}{-α}=-α.$$

β) Από το ερώτημα (α) έχουμε:

$$\frac{α^2}{β+γ}=-α.$$

Ομοίως, από τη δοσμένη ισότητα παίρνουμε \(γ+α=-β\) και \(α+β=-γ\), οπότε

$$\frac{β^2}{γ+α}=\frac{β^2}{-β}=-β$$

και

$$\frac{γ^2}{α+β}=\frac{γ^2}{-γ}=-γ.$$

Επομένως,

\begin{align}&\phantom{=}\frac{α^2}{β+γ}+\frac{β^2}{γ+α}+\frac{γ^2}{α+β}\\ &=-α-β-γ\\ &=-(α+β+γ)\\ &=0\end{align}

που είναι το ζητούμενο.

Έστω \(α,\ β\) πραγματικοί αριθμοί, διαφορετικοί μεταξύ τους, για τους οποίους ισχύουν \(α^2=2α+β\) και \(β^2=2β+α.\)

α) Να αποδείξετε ότι: 
i. \(α^2-β^2=α-β.\)

(Μονάδες 8)

ii. \(α+β=1.\)

(Μονάδες 8)

β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης \(Α=α^2+β^2.\)

(Μονάδες 9)

α)
i. Αν αντικαταστήσουμε τα \(α^2,\ β^2\) από τις δοσμένες ισότητες, βρίσκουμε ότι:

$$α^2-β^2=2α+β-2β-α=α-β$$

ii. H τελευταία ισότητα γράφεται:

$$(α-β)(α+β)=α-β.$$

Αλλά, \(α-β\neq 0\), αφού οι αριθμοί \(α,\ β\) είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, οπότε παίρνουμε \(α+β=1\), που είναι το ζητούμενο.

β) Όπως προηγουμένως, έχουμε:

\begin{align} Α & =α^2+β^2 \\ &= 2α+β+2β+α \\ &=3α+3β \\ &=3(α+β) \\ &=3\cdot 1 \\ &=3 \end{align}

αφού \(α+β=1.\)

Δίνονται οι αλγεβρικές παραστάσεις \(Α=\dfrac{−α}{β}\), \(Β=α^{2}\).

α) Να βρείτε για ποιες τιμές των πραγματικών αριθμών \(α\), \(β\) οι αλγεβρικές παραστάσεις \(Α\), \(Β\) είναι πραγματικοί αριθμοί διαφορετικοί του \(0\).

(Μονάδες 10)

β) Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί \(Α\), \(Β\) είναι αντίθετοι, αν και μόνο, αν οι αριθμοί \(α\), \(β\) είναι αντίστροφοι.

(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Ο αριθμός \(Α=\dfrac{-α}{β}\) ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι διαφορετικός του \(0\). Δηλαδή, αρκεί να ισχύει \(β\ne 0\).

Ο αριθμός \(Β=α^{2}\) ορίζεται για οποιαδήποτε τιμή του \(α\in R\).

Για να μην είναι μηδέν οι Α,Β, αρκεί και \(α\ne 0\).

β) Δύο αριθμοί \(Α\), \(Β\) λέγονται αντίθετοι, αν και μόνο, αν ισχύει \(Α+Β=0\).

Ισχύουν ισοδύναμα:

$$A+Β=0 $$ $$\Leftrightarrow \dfrac{-a}{β}+a^{2}=0 $$ $$\Leftrightarrow α^{2}β-α=0 $$ $$\Leftrightarrow α(αβ-1)=0 $$ $$\Leftrightarrow a=0\ \ \text{ή}\ \ αβ-1=0$$

Όμως από τον ορισμό των δύο αριθμών είναι \(α\ne 0\) , οπότε ισχύει ισοδύναμα ότι \(αβ=1\), το οποίο σημαίνει ότι οι αριθμοί \(α\), \(β\) είναι αντίστροφοι.

Για τους πραγματικούς αριθμούς \(x, y\) ισχύει:

$$\dfrac{4x+5y}{x-4y}=-2$$

α) Να αποδείξετε ότι: \(y=2x.\)

(Μονάδες 12)

β) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:

$$A=\dfrac{2x^{2}+3y^{2}+xy}{xy}$$

(Μονάδες 13)

α) Είναι:

$$\begin{align} \dfrac{4x+5y}{x-4y} & =-2 \\ \Leftrightarrow 4x+5y & = -2 (x-4y) \\ \Leftrightarrow 4x+5y & = -2x +8y \\ \Leftrightarrow 6x & = 3y \\ \Leftrightarrow y & = 2x \end{align}$$

β) Για \(y = 2x\) η παράσταση \(Α\) γράφεται:

$$\begin{align} A & = \dfrac{2x^{2}+3y^{2}+xy}{xy} \\ & = \dfrac{2x^{2}+3(2x)^{2}+x \cdot (2x)}{x \cdot (2x)} \\ & = \dfrac{2x^{2}+3 \cdot 4 x^{2}+2 \cdot x^2}{2 \cdot x^{2}} \\ & = \dfrac{16x^{2}}{2 x^{2}} \\ & = 8 \end{align}$$