Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Το σύνολο θα πρέπει να είναι «καλά ορισμένο ή καθορισμένο», δηλαδή τα αντικείμενα που το απαρτίζουν θα πρέπει να αναγνωρίζονται μεταξύ τους, να καταλαβαίνουμε δηλαδή αν ένα αντικείμενο είναι ή δεν είναι στοιχείο του συνόλου.

• Tα αντικείμενα από τα οποία αποτελείται το σύνολο ονομάζονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου και δηλώνονται με μικρά γράμματα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου. Τα στοιχεία γράφονται μέσα σε άγκιστρα. Π.χ. Το σύνολο  {α,β,γ}  έχει στοιχεία τα:  α,β,γ.
• Το πλήθος τω ν στοιχείων ενός συνόλου Α ονομάζεται πληθικός αριθμός ή πληθάριθμος του συνόλου Α και συμβολίζεται με Ν(Α).
• Τα στοιχεία ενός συνόλου τα γράφουμε με οποιαδήποτε σειρά θέλουμε, δηλαδή δεν μας
  ενδιαφέρει ποιο θα γράψουμε πρώτο, ποιο δεύτερο, τρίτο κ.λ.π.
• Το σύνολο το συµβολίζουµε µε ένα από τα κεφαλαία γράµµατα του Ελληνικού ή του
  Λατινικού αλφαβήτου (π.χ Α ,Β ,Γ, ...).
• Ένα σύνολο που περιέχει ένα µόνο στοιχείο, λέγεται µονοσύνολο ή µονοµελές σύνολο.
• Αν περιέχει δύο στοιχεία λέγεται διµελές σύνολο, … κ.λ.π.
• Το σύνολο που δεν περιέχει στοιχεία λέγεται κενό σύνολο και συµβολίζεται µε ∅ ή { }. Το κενό σύνολο δεν περιέχει στοιχεία.

Παραδείγµατα συνόλων

1.   Το σύνολο Α των θετικών ακεραίων που είναι µικρότεροι του 10 είναι το : Α={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
2.   Το σύνολο Φ των φωνηέντων είναι το : Φ={α,ε,ο,η,ι,υ,ω}
3.   Το σύνολο Β των ακεραίων αριθμών \(x\)  που είναι 0<x<1 είναι το :  Β = ∅

Τα σύμβολα ∈ και ∉

Για να δηλώσουµε ότι ένα στοιχείο x είναι στοιχείο ενός συνόλου Σ, γράφουµε: x ∈ Σ και διαβάζουµε «το x ανήκει στο Σ ».

Για να δηλώσουµε ότι το στοιχείο x δεν είναι στοιχείο του συνόλου Σ, γράφουµε x ∉ Σ και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο Σ ».

Έτσι για τα προηγούµενα σύνολα έχουµε: 1∈ A και α ∉ Α , ενώ  1∉Φ  και α ∈ Φ .

Άλλα παραδείγματα συνόλων

1.   Το σύνολο των μαθητών της Α' τάξης του Εσπερινού Λυκείου Αγρινίου.
2.   Οι νομοί της Κρήτης.
3.   Οι κάτοικοι ενός χωριού.
4.   Τα μέλη μίας οικογένειας.
5.   Το σύνολο ℕ = {0,1, 2, 3, 4, …}   των φυσικών αριθμών
6.   Το σύνολο ℕ* = {1, 2, 3, 4, …}   των φυσικών αριθμών εκτός του μηδενός.
7.   Το σύνολο ℤ = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}  των ακέραιων αριθμών
8.   Το σύνολο ℤ^*₊={1,2,3,…}  των θετικών ακεραίων
9.   Το σύνολο ℚ = {p/q :  p,q∈ℤ, q ≠ 0}  των ρητών αριθμών.
10.   Το σύνολο ℚ⁺ όλων των μη αρνητικών ρητών αριθμών
11.   Το σύνολο ℚ^- όλων των μή θετικών ρητών αριθμών
12.   Το σύνολο ℝ των πραγματικών αριθμών.
13.   Το σύνολο ℝ^* των πραγματικών αριθμών εκτός του μηδενός.
14.   Το σύνολο ℝ–ℚ  των αρρήτων αριθμών.

Σχόλιο:

Το σύνολο των φυσικών αριθμών (N) περιλαμβάνεται στο σύνολο των σχετικών αριθμών (Z) που περιλαμβάνεται στο σύνολο των ρητών αριθμών (Q) που περιλαμβάνεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών (R) .

Κάθε φορά, για να αλλάξουμε επίπεδο, προσθέτουμε αριθμούς σε αυτούς που ήδη γνωρίζουμε: προσθέτουμε τους αρνητικούς αριθμούς... τους ρητούς αριθμούς... τους άρρητους αριθμούς...

Η μετάβαση από το ένα στο άλλο απαιτεί μια "εννοιολογική διεύρυνση".

Παράσταση συνόλου

Μπορούμε να παραστήσουμε ένα σύνολο Α με τους εξής παρακάτω τρόπους:

1.  Με αναγραφή των στοιχείων του συνόλου 
   Κατά τον τρόπο αυτό, γράφουμε τα στοιχεία του συνόλου Α μέσα σε άγκιστρα, μια φορά το
   καθένα, και τα χωρίζουμε μεταξύ τους με το κόμμα.
   
   Παραδείγματα.
   Α = {2, 4, 6, 7},          Β = {5, 6, 7, 8, 9, …}
   
   
2.  Με περιγραφή των στοιχείων του συνόλου
   Αν τα στοιχεία ενός συνόλου  Α  έχουν κάποια χαρακτηριστική ιδιότητα, τότε το σύνολο Α δηλώνεται με τον τρόπο αυτό, ως εξής:
   Γράφουμε τα άγκιστρα και μέσα σ' αυτά τοποθετούμε ένα γράμμα \( x\)  και στην συνέχεια δηλώνουμε την χαρακτηριστική ιδιότητα του \( x\).
   
   Παραδείγματα  
   1. Το σύνολο των άρτιων φυσικών, γράφεται ως εξής: Α={x / x είναι άρτιος φυσικός} ή Α = {x/x = 2κ, κ∈Ν}.
   2. Φ={ x/x φωνήεν του αλφαβήτου } ,
   3. Κ={ x /x μαθητής του 4ου Ε.Λ.Π.}
   4. Β={x | x φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 4} 
      
      
3.  Με το διάγραμμα του Venn: Δηλαδή, μέσα σε μια κλειστή καμπύλη γραμμή να παραστήσουμε με σημεία τα στοιχεία του συνόλου.

             π.χ.       

Ίσα σύνολα

Δυο σύνολα Α και Β θα λέγονται ίσα και θα το συμβολίζουμε με το σύμβολο Α = Β , αν κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του Β, και κάθε στοιχείο του συνόλου Β είναι και στοιχείο του Α, δηλαδή αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία.

Παραδείγματα

• Αν Α = {α,β,γ} και Β = { α, γ, β} τότε Α = Β
• Τα σύνολα      Α={1,2,3,4,5,6,7,8,9} και     Β={x/x θετικός ακέραιος μικρότερος του 10}     είναι ίσα και γράφουμε Α=Β

Ιδιότητες της ισότητας συνόλων

1.   \(A=A\) για κάθε σύνολο Α (αυτοπαθής)
2.   \(A=B\) ⇒ \(B=A\) για κάθε σύνολο \(A\) και\(B\) (συμμετρική)
3.   ( \(A=B\)  και \(B = \Gamma \) ⇒ \(A = \Gamma \) για κάθε \(A ,B, \Gamma \) (μεταβατική)

Υποσύνολο συνόλου

Ένα σύνολο Α θα λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β και θα το συμβολίζουμε με το σύμβολο \(A\subseteq B\), αν κάθε στοιχείο του συνόλου Α είναι και στοιχείο του Β.

Δηλαδή, \(A\subseteq B\Leftrightarrow\)  (για κάθε  \( x\in A\Rightarrow x\in B\) ).

Π.χ. Αν Α={1,2,3,4,5,6,7,8,9} και Β={1,2,3,4,5} τότε \(B\subseteq A\) αφού κάθε στοιχείο του Β είναι επίσης στοιχείο του Α.

Επίσης ισχύει: \(A\subseteq A\)

Ιδιότητες των υποσυνόλων

1.   \(A\subseteq A\)  για κάθε σύνολο \(A\)
2.   \( \varnothing \subset A\)  για κάθε σύνολο \(A\)
3.     Αν \(A \subseteq B \) και \( B  \subseteq \Gamma \) τότε \(A \subseteq \Gamma \)  για όλα τα σύνολα \(A\) και \(B\)

Γνήσιο Υποσύνολο συνόλου

Αν Α , Β είναι δύο μη κενά σύνολα, θα λέμε ότι το σύνολο Α είναι  γνήσιο υποσύνολο του Β (συμβολικά: \(A\subset B\) ) αν και μόνο αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Β που δεν ανήκει στο Α.

Πράξεις συνόλων

Έστω Ω ένα βασικό (καθολικό) σύνολο και Α, Β δύο υποσύνολα του.

1. Η ένωση συνόλων

Με την βοήθεια των συνόλων Α και Β ορίζουμε ένα νέο σύνολο που το συμβολίζουμε με Α \( \cup \)Β και το ονομάζουμε ένωση των συνόλων Α και Β.

Το σύνολο Α \( \cup \)Β περιέχει εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα σύνολα Α, Β.

Συμβολικά: Α \( \cup \)Β ={x \( \in \) Ω/ x \( \in \) Α ή x \( \in \) Β} .

Παραδείγματα

• Αν Α ={α, β , γ} και  Β={ 1 , α, κ, β , x}     τότε Α \( \cup \)Β = {α, β, γ, 1, κ , x}
• Αν Α ={1 , 2}     και  Β={x∈R / x\(^2\)-4 = 0}={ -2 , 2}   τότε Α \( \cup \)Β = {1 ,2,-2}.

2. Η τομή συνόλων
Με την βοήθεια των συνόλων Α και Β ορίζουμε ένα νέο σύνολο που το συμβολίζουμε με Α\(\cap\)Β και το ονομάζουμε τομή των συνόλων Α και Β.

Το σύνολο Α \( \cap \)Β  περιέχει τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α, Β.

Συμβολικά: Α \( \cap \)Β ={x \( \in \) Ω/ x \( \in \) Α  και  x \( \in \) Β} .

Παραδείγματα

• Αν Α ={α, β , γ} και  Β={ 1 , α, κ, β , x}     τότε Α \( \cap \)Β = {α, β}
• Αν Α ={1 , 2}     και  Β={x∈R / x\(^2\)-4 = 0}={ -2 , 2}   τότε Α \( \cap \)Β = {2}.

Δύο σύνολα Α και Β θα λέγονται ξένα μεταξύ τους αν Α \( \cap \)Β  = \( \varnothing  \)  , δηλαδή αν δεν έχουν κοινά στοιχεία.

3. Το συμπλήρωμα ενός συνόλου

Με την βοήθεια του συνόλου Α ορίζουμε ένα νέο σύνολο που το συμβολίζουμε με Α' και το ονομάζουμε συμπλήρωμα του συνόλου A.

Το σύνολο Α' περιέχει τα στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο Α.

Συμβολικά: Α'= {x \( \in \) Ω / x \( \notin \) Α  }.

Παραδείγματα

• Αν Α = {α, β ,γ}    και    Ω = {α, κ, β, χ, γ, δ},      τότε    Α' ={κ , χ , δ }.
• Αν Α = {1 ,2}        και    Ω = {χ∈R/ (x\(^2\) – 1)(x\(^2\) - 4) = 0}, τότε: Α' ={-1 ,-2}.

4. Διαφορά συνόλων

Με την βοήθεια των συνόλων Α και Β ορίζουμε ένα νέο σύνολο που το συμβολίζουμε με Α - Β και το ονομάζουμε διαφορά του Β από το Α.

Το σύνολο Α - Β περιέχει τα στοιχεία του Ω που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν στο Β.
Συμβολικά: Α-Β = {x \( \in \) A / x \( \notin \) B  }.

Παράδειγμα

Αν Α = { α, β, γ} και Β = { α, 1 , β ,2 } , τότε  Α-Β = {γ },  ενώ  Β-Α = {1 , 2}.

Παρατήρηση. Αν Α και Β είναι υποσύνολα ενός βασικού συνόλου  Ω, τότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

1.   \( \left (A\cap B \right )\subseteq A \), \( \left (A\cap B \right )\subseteq B \)
2.   \( A\subseteq \left ( A\cup B \right ) \), \(  B \subseteq \left ( A\cup B  \right ) \)
3.   \( A\subseteq \Omega\)
4.   \( \varnothing \subseteq A\)
5.   \( \varnothing '=\Omega\)
6.   \( \Omega'= \varnothing\)
7.   \( \left (A\cap B \right )\subseteq \left (A\cup B \right )\)