Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Επίλυση ανισώσεων της μορφής  :  \( A(x)\cdot B(x)\cdot ...\cdot\Phi (x)>0 \)

Αν θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο \( P(x) = A(x)\cdot B(x)\cdot ...\cdot\Phi (x)>0 \) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες \( A(x),B(x), ...,\Phi (x) \) είναι της μορφής \( \alpha x + \beta \) (πρωτοβάθμιοι) ή της μορφής \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma , \alpha \neq 0    \) (τριώνυμα), βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του P(x).  Συγκεκριμμένα:
 
Βήμα 1 : Βρίσκουμε τις ρίζες (αν υπάρχουν) των παραγόντων  \( A(x), B(x), ...,\Phi (x)  \)
Βήμα 2 : Διατάσσουμε τις ρίζες σε έναν άξονα (από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη)
Βήμα 3 : Κάτω από τον άξονα σχηματίζουμε πίνακα με τα πρόσημα των παραγόντων, στα διαστήματα που χωρίζεται ο άξονας από τις ρίζες.
Βήμα 4 : Στην τελευταία γραμμή του πίνακα βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου εφαρμόζοντας τους κανόνες προσήμου : 

                 \(  (+)\cdot (+)\rightarrow +   \)

                  \(  (-)\cdot (-)\rightarrow +    \)

                 \(  (+)\cdot (-)\rightarrow +   \)

                 \(  (-)\cdot (+)\rightarrow +  \)

Σχόλιο:

• Οι παράγοντες της μορφής \( \alpha x + \beta \), \( \alpha \neq 0 \) (πρωτοβάθμιοι) , δεξιά από την ρίζα τους είναι ομόσημοι του \( \alpha \).
• Οι παράγοντες της μορφής  \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma , \alpha \neq 0    \)   (τριώνυμα), έχουν πρόσημο σύμφωνα με την παράγραφο Α19. Πρόσημο τριωνύμου.

ΛΥΜΕΝΗ ΑΣΚΗΣΗ 1

1. (Άσκηση 1 σελ. 117 A΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να βρείτε το πρόσημο του γινομένου :  \( P(x)=(2-3x)(x^2-x-2)(x^2-x+1) \)

Λύση 
Για τον παράγοντα \( 2-3x \), που είναι 1^ου βαθμού,έχουμε:

\( 2-3x=0\Leftrightarrow -3x=-2  \overset{\text{ που είναι τριώνυμο, διαιρούμε με τον  } -3} {\Leftrightarrow} \)  \( \cfrac{-3x}{-3}=\cfrac{-2 }{-3} \Leftrightarrow\) \(x= \cfrac{ 2 }{ 3} \) 

Για τον παράγοντα \( x^2-x-2 \),  που είναι τριώνυμο, έχουμε:

\( \alpha =1, \beta =-1, \gamma =-2 \) και η διακρίνουσα Δ είναι \( \Delta= \beta ^2 -4 \alpha \cdot \gamma=(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot (-2)=1+8=9>0\)  άρα έχει 2 άνισες ρίζες, τις

\( x_{1,2}= \cfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }=\cfrac{1 \pm \sqrt{9 }}{2\cdot 1 }= \) \(  \cfrac{1 \pm 3}{2 } = \)  \(  \left\{\begin{matrix} 
\cfrac{1+3}{2}=\cfrac{4}{2}=2\\
\cfrac{1-3}{2}=\cfrac{-2}{2}=-1
\end{matrix}\right.  \)

Για τον παράγοντα \( (x^2-x+1 \),  που είναι τριώνυμο, έχουμε:

\( \alpha =1, \beta =-1, \gamma = 1 \) και η διακρίνουσα Δ είναι \( \Delta= \beta ^2 -4 \alpha \cdot \gamma=(-1)^2-4 \cdot 1 \cdot 1=1-4=-3<0\)  άρα το τριώνυμο δεν έχει ρίζες.

Μετά, σχηματίζουμε τον πίνακα προσήμων :

Άρα

\( P(x)>0 \) για κάθε  \( x \in (-\infty , -1)\cup \left ( \cfrac{2}{3},2 \right ) \)

και 

\( P(x)<0 \) για κάθε  \( x \in  \left ( -1, \cfrac{2}{3}  \right )   \cup        (2, +\infty ) \)

Σχόλιο: Παρατηρήστε ότι

• ο πρωτοβάθμιος παράγοντας \( 2-3x \) γράφεται \( -3x+2\), έχει ρίζα τον αριθμό \( \cfrac{2}{3} \) και δεξιά του αριθμού αυτού είναι  ομόσημος του -3, δηλαδή αρνητικός (-).
• ο δευτεροβάθμιος παράγοντας  \( x^2-x-2 \) (τριώνυμο), έχει δύο άνισες ρίζες και εκτός των ριζών του είναι  ομόσημος του συντελεστή του \( x^2 \), δηλαδή ίναι  ομόσημος του \( \alpha = 1 \)  \( (+) \) ενώ μεταξύ των ριζών του είναι ετερόσημος του \( \alpha = 1 \)
• ο δευτεροβάθμιος παράγοντας \( (x^2-x+1 \) (τριώνυμο), δεν έχει ρίζες οπότε  είναι  ομόσημος του συντελεστή του \( x^2 \), δηλαδή ίναι  ομόσημος του \( \alpha = 1 \)  \( (+) \) σε όλο το \( \mathbb{R} \).

Επίλυση ανισώσεων της μορφής  :    \( \cfrac{A(x)}{B(x)}>0 \) ή \( \cfrac{A(x)}{B(x)}<0 \)

Γνωρίζουμε το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημα.

Επομένως:

\( \cfrac{A(x)}{B(x)}>0\Leftrightarrow A(x)\cdot B(x) >0 \) και 

\( \cfrac{A(x)}{B(x)}<0\Leftrightarrow A(x)\cdot B(x) <0 \)

αφού καμία από τις λύσεις της \( A(x)\cdot B(x) >0 \) και της \( A(x)\cdot B(x) <0 \) δεν μηδενίζει το Β(x).

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση

 \(  \cfrac {(2-3x)(x^2-x-2)}{(x^2-x+1)}<0 \).

Η ανίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με την

\( (2-3x)(x^2-x-2)(x^2-x+1) <0 \),

δηλαδή με την

\( P(x) < 0\),

η οποία, από τον πίνακα προσήμου του P(x) αληθεύει όταν

\( x \in  \left ( -1, \cfrac{2}{3}  \right )   \cup        (2, +\infty ) \).

(βλέπε παραπάνω, την ΛΥΜΕΝΗ ΑΣΚΗΣΗ 1)

Επίλυση ανισώσεων της μορφής  :   \( \cfrac{A(x)}{B(x)} \geq  0 \) ή \( \cfrac{A(x)}{B(x)} \leq  0 \)

Μία ανίσωση της μορφής \( \cfrac{A(x)}{B(x)} \geq  0 \) αληθεύει για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς \( x \) για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως

 \( A(x) \cdot  B(x)  \geq  0 \)  και \(  Β(x) ≠ 0 \). 

Όμοια, μια ανίσωση της μορφής \( \cfrac{A(x)}{B(x)} \leq  0 \) αληθεύει για εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς \( x \) για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως

 \( A(x) \cdot  B(x)  \leq  0\)  και \( Β(x) ≠ 0\). 

Για παράδειγμα, έστω ότι θέλουμε να λύσουμε την ανίσωση

 \(  \cfrac {(2-3x)(x^2-x+1)}{(x^2-x-2)} \leq 0 \).

Η ανίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με την

\( (2-3x)(x^2-x-2)(x^2-x+1) \leq 0 \)  και  \( x^2-x-2\neq 0 \)

δηλαδή με την

\( P(x) \leq 0\) και \(x \neq -1\)  και  \( x\neq 2 \)

η οποία, από τον πίνακα προσήμου του P(x) αληθεύει όταν

 \( x \in  \left ( -1, \cfrac{2}{3}  \right ]  \cup        (2, +\infty ) \)

(βλέπε παραπάνω, την ΛΥΜΕΝΗ ΑΣΚΗΣΗ 1)

ΑΣΚΗΣΗ ΛΥΜΕΝΗ 2

Να λυθεί η ανίσωση : \( \cfrac{x}{x-1}-\cfrac{2}{x+1}\geq \cfrac{8}{x^2-1} \)

Λύση

Η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα: \( \cfrac{x}{x-1}-\cfrac{2}{x+1}\geq \cfrac{8}{(x-1)(x+1)} \)

Πρέπει  \(    (x-1)(x+1) \neq  0 \Leftrightarrow x\neq 1 \text{ και } x\neq -1 \) 

Προσοχή: Στις ανισώσεις δεν κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών όπως στις αντίστοιχες κλασματικές εξισώσεις, αλλά κάνουμε ομώνυμα κλάσματα, πράξεις και μεταφορά όλων στο πρώτο μέλος της ανίσωσης.
(Η απαλοιφή παρανομαστών δεν επιτρέπεται στις ανισώσεις καθώς δεν γνωρίζουμε το πρόσημο του ΕΚΠ των παρονομαστών με το οποία θα πολλαπλασίαζα κάθε όρο της ανίσωσης.)

Για  \( x\neq 1 \text{ και } x\neq -1 \) έχουμε :

\( \cfrac{x}{x-1}-\cfrac{2}{x+1}\geq \cfrac{8}{(x-1)(x+1)}\Leftrightarrow \)

\( \cfrac{x}{x-1}-\cfrac{2}{x+1}- \cfrac{8}{(x-1)(x+1)} \geq 0\Leftrightarrow \)

\(\cfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \cfrac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} - \cfrac{8}{(x-1)(x+1)} \geq 0  \Leftrightarrow \)

\( \cfrac{x(x+1)-2(x-1)-8}{(x-1)(x+1)} \geq 0\Leftrightarrow \)

\( \cfrac{x^2+x-2x+2-8}{(x-1)(x+1)} \geq 0\Leftrightarrow \)

\( \cfrac{x^2-x-6}{x^2-1} \geq 0\Leftrightarrow \)

\(  (x^2-x-6)( x^2-1)  \geq 0  \)

Το τριώνυμο \( x^2-x-6 \) έχει ρίζες τους αριθμούς \( -2\) και \(3\)

Το τριώνυμο \( x^2-1 \) έχει ρίζες τους αριθμούς \( -1\) και \(1\)

Ο πίνακας προσήμων είναι:

Θέλουμε \(  (x^2-x-6)( x^2-1)  \geq 0  \) και \( x\neq 1 \text{ και } x\neq -1 \) οπότε 

\( x\in (-\infty , -2 ] \cup (-1,1) \cup [3,+\infty) \)