Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ
Κωδικός : G217121
-
Θεματικές Ενότητες
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\)
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α4. Ταυτότητες
-
Α4. Ταυτότητες - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A5. Παραγοντοποίηση
-
A5. Παραγοντοποίηση - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις)
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α11. Εξισώσεις 2ου βαθμού: \(\alpha x^2+\beta x+\gamma =0\) όπου \(\alpha \neq 0\)
-
Α12. Εξισώσεις που ανάγονται σε 2ου βαθμού
-
Α13. Παραμετρικές Εξισώσεις 2ου βαθμού
-
Α11-12-13. Εξισώσεις 2ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α14. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (βασική μορφή)
-
Α15. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (παραμετρικές)
-
Α16. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές
-
Α17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές (σύνθετες)
-
Α14-15-16-17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α18. Παραγοντοποίηση τριωνύμου
-
Α19. Πρόσημο τριωνύμου
-
Α20. Ανισώσεις \( 2^{ου} \) βαθμού (μορφές \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma >0 \) ή \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma <0, \alpha \neq 0 \) )
-
A21. Ανισώσεις "γινόμενο" και ανισώσεις "πηλίκο"
-
A18-19-20-21. Ανισώσεις \( 2^{ου}\) Βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
Α19. Πρόσημο τριωνύμου
Το τριώνυμο \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \) , \( \alpha \neq 0 \) έχει διακρίνουσα \( \Delta =\beta ^2-4\alpha \gamma \) και
- Αν \( \Delta >0 \), το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες που δίνονται από τον τύπο:
\( x_{1,2}=\cfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha } \)
- Αν \( \Delta =0 \), το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες που δίνονται από τον τύπο:
\( x_{1,2}= \cfrac{-\beta}{2\alpha } \)
- Αν \( \Delta <0 \), το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Θεωρούμε το τριώνυμο \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \) , \( \alpha \neq 0 \) με διακρίνουσα \( \Delta =\beta ^2-4\alpha \gamma \) .
- Αν \( \Delta >0 \), το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες \( x _1, x _2\) και
- για τις τιμές του \( x\) που βρίσκονται εκτός των ριζών του, είναι ομόσημο του \( \alpha \) ενώ
- για τις τιμές του \( x\) που βρίσκονται μεταξύ των ριζών του, είναι ετερόσημο του \( \alpha \)
- Αν \( \Delta =0 \), το τριώνυμο έχει μία (διπλή) ρίζα και για τις τιμές του \( x\) που είναι διαφορετικές τις ρίζας του, είναι ομόσημο του \( \alpha \)
- Αν \( \Delta <0 \), το τριώνυμο για όλες τις τιμές του \( x\) είναι ομόσημο του \( \alpha \).
Προφανώς, ένα τριώνυμο γίνεται μηδέν, όταν η τιμή του \( x\) είναι κάποια από τις ρίζες του τριωνύμου (αν έχει ρίζες).
Με την μορφή πινάκων έχουμε
1. Αν \( \Delta >0 \) και \( x _1, x _2 \) οι ρίζες του τριωνύμου τότε:
2. Αν \( \Delta =0 \) και \( \rho \) η διπλή ρίζα του τριωνύμου τότε:
3. Αν \( \Delta <0 \) τότε:
Παραδείγματα
Για ποιες τιμές του \( x\in \mathbb{R} \) το τριώνυμο \( 2x^2-x-3 \) παίρνει τιμές
(i Θετικές (ii Αρνητικές;
Λύση
Το τριώνυμο \( 2x^2-x-3 \) έχει διακρίνουσα \( \Delta = (-1)^2-4\cdot2\cdot3=1+24=25 \) και ρίζες \( x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}
x_1=\cfrac{3}{2}\\
x_2=-1
\end{matrix}\right. \)
Από τα προηγούμενα κατασκευάζουμε τον πίνακα:
Άρα
(i) το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές όταν \(x\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( \cfrac{3}{2},+\infty \right )\)
(ii) το τριώνυμο παίρνει αρνητικές τιμές όταν \( x\in \left ( -1,\cfrac{3}{2} \right ) \)