Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Το τριώνυμο \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma  \) , \( \alpha \neq 0 \) έχει διακρίνουσα \( \Delta =\beta ^2-4\alpha \gamma \)   και

• Αν \( \Delta >0 \),  το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες που δίνονται από τον τύπο:

\( x_{1,2}=\cfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha } \)

• Αν \( \Delta =0 \),  το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες που δίνονται από τον τύπο:

\( x_{1,2}= \cfrac{-\beta}{2\alpha } \)

• Αν \( \Delta <0 \),  το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Θεωρούμε το τριώνυμο \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma  \) , \( \alpha \neq 0 \) με διακρίνουσα \( \Delta =\beta ^2-4\alpha \gamma \) .

• Αν \( \Delta >0 \),  το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες \(  x _1, x _2\) και
  • για τις τιμές του \( x\) που βρίσκονται εκτός των ριζών του, είναι ομόσημο του \( \alpha \) ενώ
  • για τις τιμές του \( x\) που βρίσκονται μεταξύ των ριζών του, είναι ετερόσημο του \( \alpha \)  

• Αν \( \Delta =0 \),  το τριώνυμο έχει μία (διπλή) ρίζα και για τις τιμές του \( x\) που είναι διαφορετικές τις ρίζας  του, είναι ομόσημο του \( \alpha \)
• Αν \( \Delta <0 \), το τριώνυμο για όλες τις τιμές του \( x\)  είναι ομόσημο του \( \alpha \).

Προφανώς, ένα τριώνυμο γίνεται μηδέν, όταν η τιμή του  \( x\)  είναι κάποια από τις ρίζες του τριωνύμου (αν έχει ρίζες).

Με την μορφή πινάκων έχουμε

1. Αν  \( \Delta >0 \)  και  \(   x _1, x _2 \)  οι ρίζες του τριωνύμου τότε:

2. Αν  \( \Delta =0 \)  και   \( \rho \)  η διπλή ρίζα του τριωνύμου τότε:

3. Αν  \( \Delta <0 \)  τότε:

Παραδείγματα
Για ποιες τιμές του \( x\in \mathbb{R} \)  το τριώνυμο \( 2x^2-x-3 \)  παίρνει τιμές
(i  Θετικές (ii  Αρνητικές;
Λύση
Το τριώνυμο \( 2x^2-x-3 \) έχει διακρίνουσα \( \Delta = (-1)^2-4\cdot2\cdot3=1+24=25 \) και ρίζες \( x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix}
x_1=\cfrac{3}{2}\\
x_2=-1
\end{matrix}\right. \) 

Από τα προηγούμενα κατασκευάζουμε τον πίνακα:

Άρα
(i) το τριώνυμο παίρνει θετικές τιμές όταν \(x\in \left ( -\infty ,-1 \right )\cup \left ( \cfrac{3}{2},+\infty \right )\)

(ii) το τριώνυμο παίρνει αρνητικές τιμές όταν \( x\in \left ( -1,\cfrac{3}{2} \right ) \)