Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Τριώνυμο λέγεται κάθε παράσταση της μορφής :

 \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma , \text{ όπου } \alpha ,\beta, \gamma \in \mathbb{R} \text{ με } \alpha \neq 0 \)

Διακρίνουσα και ρίζες του τριωνύμου \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma  \) λέγεται η διακρίνουσα και οι ρίζες της εξίσωσης

\( \alpha x^2+\beta x+ \gamma =0 \)

Επομένως το τριώνυμο \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma  \) , \( \alpha \neq 0 \) έχει διακρίνουσα \( \Delta =\beta ^2-4\alpha \gamma \)   και

• Αν \( \Delta >0 \),  το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες που δίνονται από τον τύπο:

\( x_{1,2}=\cfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha } \)

• Αν \( \Delta =0 \),  το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες που δίνονται από τον τύπο:

\( x_{1,2}= \cfrac{-\beta}{2\alpha } \)

• Αν \( \Delta <0 \),  το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Παραγοντοποίηση τριωνύμου

Θεωρούμε το τριώνυμο \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma  \) , \( \alpha \neq 0 \).

• Αν \( \Delta >0 \),  το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες \(  \rho _1, \rho _2\) και γράφεται στη μορφή:

\( \alpha x^2+\beta x+ \gamma=\alpha \left ( x-\rho _1 \right )\left ( x-\rho _2 \right ) \)

• Αν \( \Delta =0 \),  το τριώνυμο έχει δύο ρίζες ίσες\(  \rho _1= \rho _2= \rho \) και γράφεται στη μορφή:

\( \alpha x^2+\beta x+ \gamma = \alpha \left ( x-\rho  \right )\left ( x-\rho  \right ) =\alpha \left ( x-\rho  \right )^2 \)

• Αν \( \Delta <0 \), το τριώνυμο δεν μπορεί να γραφεί σαν γινόμενο πρώτων παραγόντων (δηλαδή δεν παραγοντοποιείται) αλλά γράφεται στη μορφή: \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma = \alpha \left [ \left (x+\cfrac{\beta }{2\alpha } \right )^2 +\cfrac{\left | \Delta \right |}{4\alpha ^2} \right ] \)

Παράδειγμα
Να γίνουν γινόμενα παραγόντων, όταν αυτό είναι δυνατό, τα τριώνυμα: 

i) \( 4x^2-6x-4 \)  ii) \( x^2-2x+1 \)    iii) \(  x^2+x+1 \) 

Λύση

i) Το τριώνυμο \( 4x^2-6x-4 \) έχει

\( \Delta =6^2-4\cdot 4\cdot \left (-4 \right )=36+64=100 >0 \) οπότε έχει δύο άνισες ρίζες 

\( \rho _1=2 \)  και \( \rho _2=-\cfrac{1}{2}  \)

και γράφεται \( 4x^2-6x-4 =1 \cdot (x-2)\left ( x+\cfrac{1}{2} \right ) = (x-2)\left ( x+\cfrac{1}{2} \right ) \)

ii) Το τριώνυμο \( x^2-2x+1 \)  έχει

\( \Delta =(-2)^2-4\cdot 1\cdot 1=4-4=0 \) οπότε έχει δύο ίσες ρίζες 

\( \rho _1= \rho _2=\rho =1  \)

και γράφεται \( x^2-2x+1  =1 \cdot (x-1)\cdot (x-1) = (x-1)^2 \)

iii) Το τριώνυμο \(  x^2+x+1 \)   έχει

\( \Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3<0 \) οπότε δεν έχει ρίζες και δεν παραγοντοποιείται.