Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ
Κωδικός : G217121
-
Θεματικές Ενότητες
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\)
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α4. Ταυτότητες
-
Α4. Ταυτότητες - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A5. Παραγοντοποίηση
-
A5. Παραγοντοποίηση - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις)
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α11. Εξισώσεις 2ου βαθμού: \(\alpha x^2+\beta x+\gamma =0\) όπου \(\alpha \neq 0\)
-
Α12. Εξισώσεις που ανάγονται σε 2ου βαθμού
-
Α13. Παραμετρικές Εξισώσεις 2ου βαθμού
-
Α11-12-13. Εξισώσεις 2ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α14. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (βασική μορφή)
-
Α15. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (παραμετρικές)
-
Α16. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές
-
Α17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές (σύνθετες)
-
Α14-15-16-17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α18. Παραγοντοποίηση τριωνύμου
-
Α19. Πρόσημο τριωνύμου
-
Α20. Ανισώσεις \( 2^{ου} \) βαθμού (μορφές \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma >0 \) ή \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma <0, \alpha \neq 0 \) )
-
A21. Ανισώσεις "γινόμενο" και ανισώσεις "πηλίκο"
-
A18-19-20-21. Ανισώσεις \( 2^{ου}\) Βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
Α20. Ανισώσεις \( 2^{ου} \) βαθμού (μορφές \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma >0 \) ή \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma <0, \alpha \neq 0 \) )
Ανισώσεις της μορφής \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma >0 \) και \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma < 0 \) , \( \alpha \neq 0 \)
Για να λύσουμε μία ανίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τις παραπάνω μορφές, είναι αρκετό να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \).
Ανάλογα λύνονται και οι ανισώσεις \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \geq 0 \) και \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \leq 0 \) , \( \alpha \neq 0 \)
Παρατήρηση
(i) Η ανισότητα \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma >0 \) αληθεύει για κάθε \( x \in \mathbb{R} \) όταν \( \alpha >0 \) και \( \Delta<0\)
(ii) Η ανισότητα \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma<0 \) αληθεύει για κάθε \( x \in \mathbb{R} \) όταν \( \alpha <0 \) και \( \Delta<0\)
(iii) Η ανισότητα \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \geq 0 \) αληθεύει για κάθε \( x \in \mathbb{R} \) όταν \( \alpha >0 \) και \( \Delta \leq 0\)
(iv) Η ανισότητα \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \leq 0 \) αληθεύει για κάθε \( x \in \mathbb{R} \) όταν \( \alpha <0 \) και \( \Delta \leq 0\)
(v) Το τριώνυμο \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \) διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε \( x\in \mathbb{R} \) μόνο όταν \( \Delta<0\)
Παραδείγματα
1. Να λυθούν οι ανισώσεις
i) \( -2x^2+ x+ 1 \geq 0 \)
ii) \( 4x^2+ 4 x+ 1 \geq 0 \)
iii) \( 3x^2-4x+ 5 < 0 \)
Λύση
i) Το τριώνυμο \( -2x^2+ x+ 1 \geq 0 \) έχει διακρίνουσα \( \Delta=9>0\) και ρίζες \( x_1=1\) και \( x_2=-\cfrac{1}{2}\)
Πρέπει να είναι ετερόσημο του συντελεστή του \( x^2 \) ή μηδέν, οπότε οι λύσεις της ανίσωσης είναι: \( x\in \left [ -\frac{1}{2},1 \right ]\).
ii) Το τριώνυμο \( 4x^2+ 4 x+ 1 \geq 0 \) έχει διακρίνουσα \( \Delta=0\) και μια ρίζα διπλή την \( \rho=-\cfrac{1}{2}\) . Πρέπει να είναι ομόσημο του συντελεστή του \( x^2 \) , οπότε οι λύσεις της ανίσωσης είναι: \( x\in \mathbb{R}-\left \{ -\frac{1}{2} \right \} \)
iii) Το τριώνυμο \( 3x^2-4x+ 5 < 0 \) έχει διακρίνουσα \( \Delta=-44<0\) και δεν έχει ρίζες.
Πρέπει να είναι ετερόσημο του συντελεστή του \( x^2 \) , οπότε οι λύσεις της ανίσωσης είναι το κενό σύνολο \( \varnothing \)