Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Ανισώσεις της μορφής   \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma >0   \) και \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma < 0   \) , \( \alpha \neq 0 \) 

Για να λύσουμε μία ανίσωση που έχει ή  μπορεί να πάρει τις παραπάνω μορφές, είναι αρκετό να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \).

Ανάλογα λύνονται και οι ανισώσεις  \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \geq  0   \) και \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \leq 0   \) , \( \alpha \neq 0 \) 

Παρατήρηση

(i) Η ανισότητα \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma >0   \) αληθεύει για κάθε \( x \in \mathbb{R} \)  όταν \( \alpha >0 \) και \( \Delta<0\)

(ii) Η ανισότητα \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma<0   \) αληθεύει για κάθε \( x \in \mathbb{R} \)  όταν \( \alpha <0 \) και \( \Delta<0\)

(iii) Η ανισότητα \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \geq 0   \) αληθεύει για κάθε \( x \in \mathbb{R} \)  όταν \( \alpha >0 \) και \( \Delta \leq 0\)

(iv) Η ανισότητα \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma \leq 0   \) αληθεύει για κάθε \( x \in \mathbb{R} \)  όταν \( \alpha <0 \) και \( \Delta \leq 0\)

(v) Το τριώνυμο \( \alpha x^2+\beta x+ \gamma    \) διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε \( x\in \mathbb{R} \) μόνο όταν \( \Delta<0\)

Παραδείγματα
1. Να λυθούν οι ανισώσεις

 i)    \( -2x^2+  x+ 1 \geq 0   \)

 ii)   \( 4x^2+ 4 x+ 1 \geq 0   \)

iii)   \( 3x^2-4x+ 5 < 0   \)

Λύση

i) Το τριώνυμο \( -2x^2+  x+ 1 \geq 0   \) έχει διακρίνουσα \( \Delta=9>0\) και ρίζες \( x_1=1\) και \( x_2=-\cfrac{1}{2}\) 

Πρέπει να είναι ετερόσημο του συντελεστή του \(  x^2   \) ή μηδέν, οπότε οι λύσεις της ανίσωσης είναι: \( x\in \left [ -\frac{1}{2},1 \right ]\).

 ii)  Το τριώνυμο  \( 4x^2+ 4 x+ 1 \geq 0   \) έχει διακρίνουσα \( \Delta=0\) και μια ρίζα διπλή την \( \rho=-\cfrac{1}{2}\) . Πρέπει να είναι ομόσημο του συντελεστή του \(  x^2   \) , οπότε οι λύσεις της ανίσωσης είναι: \( x\in \mathbb{R}-\left \{ -\frac{1}{2} \right \} \)

iii)  Το τριώνυμο  \( 3x^2-4x+ 5 < 0   \) έχει διακρίνουσα \( \Delta=-44<0\) και δεν έχει ρίζες.

Πρέπει να είναι ετερόσημο του συντελεστή του \(  x^2   \) , οπότε οι λύσεις της ανίσωσης είναι το κενό σύνολο \( \varnothing  \)