Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μορφή 1η : \( |A(x)| > B(x) \) 

Θα διακρίνουμε περιπτώσεις για το περιεχόμενο \( A(x) \) του απολύτου:

i) αν \( A(x) \geq 0 \) τότε η ανίσωση γράφεται \( A(x) > B(x) \). Λύνουμε κατά τα γνωστά και στο τέλος  δεχόμαστε τις λύσεις που ικανοποιούν τον περιορισμό  \( A(x) \geq 0 \).

ii) αν \( A(x) < 0 \) τότε η ανίσωση γράφεται \( -A(x) > B(x) \). Λύνουμε κατά τα γνωστά και στο τέλος  δεχόμαστε τις λύσεις που ικανοποιούν τον περιορισμό  \( A(x) < 0 \).

Η ένωση των λύσεων, που βρήκαμε στις δύο περιπτώσεις, δημιουργεί το σύνολο των λύσεων της αρχικής ανίσωσης.

πχ.1  Να λύσετε την ανίσωση \( |x+3|>2x-5 \)   (1)

Λύση

i) περίπτωση

 Αν \( x+3 \geq 0\Leftrightarrow x \geq -3\)

 τότε το απόλυτο \( |x+3|  \)  ισούται με \(  x+3  \) και η ανίσωση (1) γράφεται:

   \(  x+3 >2x-5 \Leftrightarrow \)
   \(  x-2x >-5-3 \Leftrightarrow \)
   \(  -x >-8  \overset{\text{   αλλάζουμε όλα τα πρόσημα και τη φορά της ανίσωσης}}{\Leftrightarrow} \) 
   \(  x < 8 \Leftrightarrow \)

   Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή πρέπει \( x \geq -3\) και \(  x < 8   \) 

   δηλαδή   \(  -3 \leq x < 8   \)  ή  ισοδύναμα    \( x \in [-3,8) \)

ii) περίπτωση

 Αν \( x+3< 0 \Leftrightarrow x < -3\)

 τότε το απόλυτο \( |x+3|  \)  ισούται με \(  -(x+3) = -x-3  \) και η ανίσωση (1) γράφεται:

   \(  -x-3 >2x-5 \Leftrightarrow \)

   \(  -x-2x >-5+3 \Leftrightarrow \)

   \(  -3x >-2  \overset{\text{  διαιρούμε με τον αρνητικό αριθμό } -3 text{  οπότε αλλάζουμε τη φορά της ανίσωσης}} {\Leftrightarrow} \) 

   \( \cfrac{-3x}{-3} < \cfrac{-2}{-3}  \) 

   \(  x < \cfrac{ 2}{ 3} \Leftrightarrow \)

   Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή πρέπει \( x < -3\) και \(  x < \cfrac{ 2}{ 3}   \) 

   δηλαδή,  \(  x < -3  \)  ή  ισοδύναμα \(  x \in (-\infty , -3) \)

Άρα, οι λύσεις της αρχικής ανίσωσης προκύπτουν από την ένωση των λύσεων των δυο περιπτώσεων i) και ii), δηλαδή, από την ένωση των συνόλων  \(   [-3,8) \) και  \( (-\infty , -3) \):

     \(   [-3,8)  \bigcup   (-\infty , -3)    =  (-\infty , -3)  \bigcup   [-3,8) = (-\infty , 8) \)

Μορφή 2η : \( |A(x)| < B(x) \) 

Πρώτα θα θέσουμε τον περιορισμό \( B(x) > 0 \), αφού δεν μπορεί ένα απόλυτο να είναι μικρότερο από το \( 0 \) ή από κάποιον αρνητικό αριθμό.

Μετά, θα διακρίνουμε περιπτώσεις για το περιεχόμενο \( A(x)  \) του απολύτου:

i) αν \( A(x) \geq 0 \) τότε η ανίσωση γράφεται \( A(x) < B(x) \). Λύνουμε κατά τα γνωστά και  δεχόμαστε τις λύσεις που ικανοποιούν τους περιορισμούς \( A(x) \geq 0 \)  και \( B(x) > 0 \).

ii) αν \( A(x) < 0 \) τότε η ανίσωση γράφεται \( -A(x) < B(x) \). Λύνουμε κατά τα γνωστά και στο τέλος  δεχόμαστε τις λύσεις που ικανοποιούν τους περιορισμούς \( A(x) < 0 \)  και \( B(x) > 0 \).

Η ένωση των λύσεων, που βρήκαμε στις δύο περιπτώσεις, δημιουργεί το σύνολο των λύσεων της αρχικής ανίσωσης.

πχ.1  Να λύσετε την ανίσωση \( |x+3|< 2x-5 \)   (1)

Λύση

Πρέπει \( 2x-5 > 0 \Leftrightarrow  2x > 5  \Leftrightarrow   x > \cfrac{5}{2} \)

Θα διακρίνουμε περιπτώσεις για το περιεχόμενο  \( x+3 \)  του απολύτου:

i) περίπτωση

 Αν \( x+3 \geq 0\Leftrightarrow x \geq -3\)

 τότε το απόλυτο \( |x+3|  \)  ισούται με \(  x+3  \) και η ανίσωση (1) γράφεται:

   \(  x+3 <2x-5 \Leftrightarrow \)
   \(  x-2x <-5-3 \Leftrightarrow \)
   \(  -x <-8  \overset{\text{   αλλάζουμε όλα τα πρόσημα και τη φορά της ανίσωσης}}{\Leftrightarrow} \) 
   \(  x > 8 \Leftrightarrow \)

   Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή πρέπει  \( x > \cfrac{5}{2}  \)  και  \( x \geq -3\) και \(  x < 8   \) 

  τα οποία συναληθεύουν στο διάστημα \( \left ( \cfrac{5}{2}, 8 \right ) \)

ii) περίπτωση

 Αν \( x+3< 0 \Leftrightarrow x < -3\)

 τότε το απόλυτο \( |x+3|  \)  ισούται με \(  -(x+3) = -x-3  \) και η ανίσωση (1) γράφεται:

   \(  -x-3 < 2x-5 \Leftrightarrow \)

   \(  -x-2x < -5+3 \Leftrightarrow \)

   \(  -3x < -2  \overset{\text{  διαιρούμε με τον αρνητικό αριθμό } -3 text{  οπότε αλλάζουμε τη φορά της ανίσωσης}} {\Leftrightarrow} \) 

   \( \cfrac{-3x}{-3} >  \cfrac{-2}{-3}  \) 

   \(  x >  \cfrac{ 2}{ 3} \Leftrightarrow \)

   Δηλαδή, στην περίπτωση αυτή πρέπει \( x > \cfrac{5}{2}  \)  και  \(  x < -3 \) και \(  x < \cfrac{ 2}{ 3}   \) 

   Παρατηρούμε ότι οι τελευταίες ανισώσεις δεν συναληθεύουν. Έτσι, η περίπτωση αυτή οδηγεί στο κενό σύνολο \(\varnothing  \).

Άρα, οι λύσεις της αρχικής ανίσωσης προκύπτουν από την ένωση των λύσεων των δυο περιπτώσεων i) και ii), δηλαδή, από την ένωση των συνόλων \( \left ( \cfrac{5}{2}, 8 \right ) \) και \(\varnothing  \) που είναι το διάστημα      \( \left ( \cfrac{5}{2}, 8 \right ) \)

Μορφή 3η : \( |A(x)| < |B(x) |\) 

α΄τρόπος:

Υψώνουμε και τα δυο μέλη της ανίσωσης στο τετράγωνο και σύμφωνα με την ιδιότητα \(  |\alpha|^2=(\alpha)^2\), τα απόλυτα γίνονται παρενθέσεις και λύνουμε την ανίσωση κατά τα γνωστά.

β΄τρόπος:

Σχηματίζουμε κοινό πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις \( A(x) \) και \( B(x)\) και μετά διακρίνουμε περιπτώσεις για το \( x\) .

πχ.1  Να λύσετε την ανίσωση \( |2x-1|>2|x-2| \)  (1)

Λύση

α΄τρόπος:

Υψώνουμε και τα δυο μέλη της ανίσωσης (1) στο τετράγωνο και έχουμε:

\( |2x-1|>2|x-2|  \Leftrightarrow  \) 

\( |2x-1|>|2x-2\cdot2|  \Leftrightarrow  \) 

\( |2x-1|^2>|2x-4|^2  \Leftrightarrow  \) 

\( (2x-1)^2>(2x-4)^2 \overset{\text{   εφαρμόζουμε την ταυτότητα } \left ( \alpha -\beta \right )^2=\alpha ^2-2\alpha \beta +\beta ^2}{\Leftrightarrow} \) 

\( (2x)^2-2\cdot2x\cdot1+1^2>(2x)^2-2\cdot2x\cdot4+4^2  \Leftrightarrow  \) 

\( 4x^2-4x+1 > 4x^2-16x+16  \Leftrightarrow  \) 

\( \cancel{4x^2}-4x+1 > \cancel{4x^2}-16x+16  \Leftrightarrow  \) 

\( -4x+1 > -16x+16  \Leftrightarrow  \) 

\( -4x+16x > 16-1  \Leftrightarrow  \) 

\( 12x > 15 \overset{\text{    διαιρούμε δια του θετικού αριθμού  } 12}{\Leftrightarrow} \) 

\( \cfrac{12x}{12} > \cfrac{15}{12} \)

\( \cfrac{\cancel{12}x}{\cancel{12}} > \cfrac{\cancel{15}^5}{\cancel{12}^4} \)

  \( x > \cfrac{5}{4} \)  ή ισοδύναμα \(  x \in \left ( \cfrac{5}{4},+\infty \right ) \) .

Σχόλιο: Παρατηρήστε ότι αν δεν απλοποιούνταν οι δευτεροβάθμιοι όροι, η διαδικασία επίλυσης της ανίσωσης θα ήταν αρκετά δυσκολότερη.

β΄τρόπος:

Για την ανίσωση \( |2x-1|>2|x-2| \)  (1)  έχουμε:

• \( 2x-1\geq 0\Leftrightarrow 2x\geq 1\Leftrightarrow x\geq \cfrac{1}{2} \)  και
• \( x-2\geq 0\Leftrightarrow x\geq 2  \)

Κατασκευάζουμε τον πίνακα προσήμων των παραστάσεων \( 2x-1\)   και \( x-2 \) :

Από τα τρία διαστήματα, στα οποία  χωρίστηκε το \( \mathbb{R}=\left ( -\infty ,+\infty \right ) \) , διακρίνουμε 3 περιπτώσεις:

Περίπτωση 1η: Αν \( x\in \left ( -\infty ,\cfrac{1}{2} \right ) \) τότε 

• η παράσταση \( 2x-1  \) είναι αρνητική, οπότε  \( |2x-1|= -\left ( 2x-1 \right )=-2x+1 \) και
• η παράσταση \( x-2 \) είναι αρνητική, οπότε  \( |x-2|= -\left ( x-2 \right )=-x+2 \)

Έτσι η ανίσωση (1) γράφεται:

\( |2x-1|>2|x-2| \Leftrightarrow \) \( -2x+1>2\left (-x+2 \right ) \Leftrightarrow \) \( -2x+1> -2x+4  \Leftrightarrow \)  \( -2x+2x>  4-1  \Leftrightarrow \) 

\( 0x>  3  \Leftrightarrow \) \( 0>  3    \) αδύνατη ανίσωση οπότε η αρχική ανίσωση (1)  δεν έχει λύσεις στο διάστημα  \(  \left ( -\infty ,\cfrac{1}{2} \right ) \)

Περίπτωση 2η: Αν \( x\in \left [ \cfrac{1}{2}, 2 \right ) \) τότε 

• η παράσταση \( 2x-1  \) είναι θετική ή μηδέν, οπότε  \( |2x-1|=   2x-1  \) και
• η παράσταση \( x-2 \) είναι αρνητική, οπότε  \( |x-2|= -\left ( x-2 \right )=-x+2 \)

Έτσι η ανίσωση (1) γράφεται:

\( |2x-1|>2|x-2| \Leftrightarrow \) \(2x-1>2\left (-x+2 \right ) \Leftrightarrow \) \( 2x-1> -2x+4  \Leftrightarrow \)  \( 2x+2x>  4+1  \Leftrightarrow \) 

\( 4x>  5  \Leftrightarrow \)  \( \cfrac{4x}{4} > \cfrac{5}{4}  \Leftrightarrow \)  \( x > \cfrac{5}{4}   \)  Από αυτές τις λύσεις, δεχόμαστε μόνον όσες ανήκουν στο διάστημα \(   \left [ \cfrac{1}{2}, 2 \right ) \), δηλαδή δεχόμαστε  ως λύσεις της ανίσωσης (1) τα \( x \) που ανήκουν στο διάστημα  \(  \left ( \cfrac{5}{4},2 \right )  \)

Περίπτωση 3η: Αν \( x\in \left [ 2, +\infty \right ) \) τότε 

• η παράσταση \( 2x-1  \) είναι θετική,  οπότε  \( |2x-1|=   2x-1  \) και
• η παράσταση \( x-2 \) είναι θετική ή μηδέν, οπότε  \( |x-2|=  x-2  \)

Έτσι η ανίσωση (1) γράφεται:

\( |2x-1|>2|x-2| \Leftrightarrow \) \(2x-1>2\left (x-2 \right ) \Leftrightarrow \) \( 2x-1> 2x-4  \Leftrightarrow \)  \( 2x-2x>  -4+1  \Leftrightarrow \) 

\( 0x >  -3  \Leftrightarrow \)  \( 0 >  -3   \).  Η τελευταία ανίσωση ισχύει πάντα οπότε δεχόμαστε ως λύσεις της αρχικής ανίσωσης (1) όλο το διάστημα \(   \left [ 2, +\infty \right ) \) .

Τελικά, από τις 3 περιπτώσεις, βρήκαμε  τις λύσεις της αρχικής ανίσωσης (1): το διάστημα \(  \left ( \cfrac{5}{4},2 \right )  \) και το διάστημα \(   \left [ 2, +\infty \right ) \), των οποίων η ένωση είναι το διάστημα \(  \left ( \cfrac{5}{4},+\infty \right ) \) .

Σχόλιο: Με τον β΄ τρόπο, αντιμετωπίζονται οι περισσότερες περιπτώσεις ανισώσεων (και εξισώσεων) με απόλυτα.

Μορφή 4η : κάθε ανίσωση με απόλυτα

Αντιμετωπίζεται με τον β΄τρόπο της 3ης Μορφής: 

Σχηματίζουμε κοινό πίνακα προσήμων για τα περιεχώμενα των απολύτων και μετά διακρίνουμε περιπτώσεις για το \( x\) .