Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Για τις ανισώσεις που περιέχουν απόλυτες τιμές χρήσιμες είναι οι ιδιότητες, που ισχύουν για \(  \alpha  \geq 0 \) :

1. \( \left | x \right |<\alpha \Leftrightarrow -\alpha <x<\alpha  \)   και 
   \( \left | x \right |\leq \alpha \Leftrightarrow -\alpha \leq x \leq \alpha  \) 
   
   
2. \( \left | x \right |>\alpha \Leftrightarrow ( x> \alpha \text{   ή  } x<-\alpha ) \)  και 
   \( \left | x \right | \geq \alpha \Leftrightarrow ( x \geq \alpha \text{   ή  } x \leq -\alpha ) \)
   
   

π.χ.1 Να λυθεί η ανίσωση : \( \left | 2x-5 \right |<6 \)

Λύση

   \( \left | 2x-5 \right |<6 \overset{\text{ιδιότητα (i) }}{\Leftrightarrow} \)  

    \(  -6<2x-5 <6  \overset{ \text{ προσθέτουμε το  } 5  \text{  σε κάθε μέλος της διπλής ανίσωσης } }{\Leftrightarrow} \)   

    \(  -6+5<2x-5+5 <6+5 \Leftrightarrow \)

    \(  -1<2x \cancel{-5}+\cancel{5} <11 \Leftrightarrow \)

   \(  -1<2x <11 \overset{ \text{ διαιρούμε δια   } 2  \text{  κάθε μέλος της διπλής ανίσωσης } }{\Leftrightarrow} \)  

   \( \cfrac{-1}{2}< \cfrac{2x}{2}< \cfrac{11}{2}  \Leftrightarrow \)

   \( -\cfrac{1}{2}<  x < \cfrac{11}{2}  \Leftrightarrow \)

    \( x\in \left ( -\cfrac{ 1}{2}, \cfrac{11}{2}  \right )  \)

π.χ.2 Να λυθεί η ανίσωση : \( \left | 3x+7 \right |> 2 \)

Λύση

     \( \left | 3x+7 \right |> 2 \overset{\text{ιδιότητα (ii) }}{\Leftrightarrow} \)  

    \( (  3x+7 > 2  \text{    ή  }  3x+7 < -2 ) \)

    \( ( 3x > 2-7  \text{    ή  }  3x < -2-7 ) \)

    \( ( 3x > -5  \text{     ή  }  3x < -9 )  \)

    \( ( \cfrac{3x}{3} > \cfrac{-5}{3}  \text{    ή  }  \cfrac{3x}{3} < \cfrac{-9}{3} )  \)

    \( ( x > -\cfrac{ 5}{3}  \text{   ή  }  x  < -3 )  \)

Δηλαδή, οι λύσεις της αρχικής ανίσωσης είναι όλοι οι αριθμοί που ανήκουν στην ένωση \( (-\infty , -3)\bigcup ( - \cfrac{5}{3}, +\infty) \)

π.χ.3 Να λυθεί η ανίσωση : \( \left | 3x+2 \right |> 3\left | x-1 \right | \)     (1)

Λύση

Παρατηρούμε ότι και τα δύο μέλη της προς επίλυση ανίσωσης είναι μή αρνητικά: \( \left | 3x+2 \right |\geq  0 \) και \( 3\left | x-1 \right | \geq  0 \) .

Έτσι μπορούμε να υψώσουμε στο τετράγωνο κάθε μέλος της ανίσωσης  (1):

\( \left | 3x+2 \right |> 3\left | x-1 \right | \overset{\text{     υψώσουμε στο τετράγωνο }}{\Leftrightarrow} \)  

\( \left | 3x+2 \right |^2 >   3 ^2 \left | x-1 \right |   ^2   \Leftrightarrow  \)  

\( \left | 3x+2 \right |^2 >  9 \left | x-1 \right |   ^2  \) \( \overset{\text{     εφαρμόζουμε την ιδιότητα  } |\alpha|^2=\alpha^2 \text{  οπότε τα απόλυτα γίνονται παρενθέσεις} } {\Leftrightarrow} \)  

\( \left ( 3x+2 \right )^2 >  9 \left ( x-1 \right )   ^2   \overset{\text{     εφαρμόζουμε την ταυτότητα  } (\alpha+\beta)^2=\alpha^2 \pm 2\alpha \beta+ \beta^2} {\Leftrightarrow} \)  

\( (3x)^2+2\cdot 3x \cdot 2+2^2 > 9 \left ( x^2-2\cdot x \cdot 1+1^2 \right )   \Leftrightarrow  \)  

\( 9x^2+12x+4 > 9(x^2-2x+1)  \Leftrightarrow  \)  

\( 9x^2+12x+4 > 9 x^2-18x+9  \Leftrightarrow  \)  

\( \cancel{9x^2}+12x+4 > \cancel{9x^2}-18x+9  \Leftrightarrow  \)  

\(  +12x+4 >  -18x+9  \Leftrightarrow  \)  

\(  +12x+ 18x > +9 -4 \Leftrightarrow  \)  

\(  30x  > 5  \overset{\text{     διαιρούμε κατά μέλη την ανίσωση με τον θετικό αριθμό } 30} {\Leftrightarrow} \)  

\( \cfrac{30x}{30} > \cfrac{5}{30} \Leftrightarrow  \)  

  \( x  > \cfrac{1}{6} \Leftrightarrow  \)  

  \( x\in \left ( \cfrac{1}{6},+\infty \right ) \)