Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Παραμετρική ανίσωση λέγεται κάθε ανίσωση στην οποία εκτός από τον άγνωστο \( x\) εμφανίζονται και άλλα γράμματα (π.χ. α, β, λ,…).

Τα γράμματα αυτά ονομάζονται παράμετροι της ανίσωσης .
Η διαδικασία «επίλυσης» μιας παραμετρικής ανίσωσης λέγεται διερεύνηση.

Για να λύσουμε μια παραμετρική ανίσωση, εργαζόμαστε ως εξής :

Βήμα 1 : Φέρνουμε την ανίσωση στη μορφή : \(  \alpha x<\beta \)   ή  \(  \alpha x > \beta \)
Βήμα 2 : Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις για το \( \alpha  \): 
                           i)   \( \alpha>0 \)
                           ii)  \( \alpha<0 \)
                           iii) \( \alpha=0 \)

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να λύσετε την ανίσωση:  \( \lambda (2x-\lambda )\leq \lambda x-2\lambda +2x \)   για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ.

Λύση

Η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα:

\( \lambda (2x-\lambda )\leq \lambda x-2\lambda +2x \overset{\text{επιμεριστική}}{\Leftrightarrow} \)  

\( 2\lambda x-\lambda ^2 \leq \lambda x-2\lambda +2x \Leftrightarrow \) 

\( 2\lambda x-\lambda x -2 x \leq \lambda ^2 - 2\lambda  \overset{\text{βγάζουμε τον x κοινό παράγοντα}}{\Leftrightarrow} \)  

\( (2\lambda -\lambda -2 )x \leq \lambda ^2 - 2\lambda \)

\( (\lambda -2 )x \leq \lambda ^2 - 2\lambda  \)                (1)  

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

• αν \(  \lambda -2  >0 \)  \( \Leftrightarrow  \lambda >2 \)  τότε η προηγούμενη ανίσωση   (1)   γράφεται ισοδύναμα: 

          \( (\lambda -2 )x \leq \lambda ^2 - 2\lambda   \overset{\text{διαιρούμε κατά μέλη με τον θετικό }  ( \lambda -2 ) } {\Leftrightarrow}  \)   \(   \cfrac{(\lambda -2 )x}{(\lambda -2 )} \leq \cfrac{\lambda ^2 - 2\lambda}{(\lambda -2 ) }  \Leftrightarrow  \)       \(   \cfrac{(\lambda -2 )x}{(\lambda -2 )} \leq \cfrac{\lambda(\lambda - 2)}{(\lambda -2 )} \Leftrightarrow \)   \(   \cfrac{\cancel{(\lambda -2 )}x}{\cancel{(\lambda -2 )}} \leq \cfrac{\lambda\cancel{(\lambda -2 )}}{\cancel{(\lambda -2 )}} \Leftrightarrow \)              \(   x\leq \lambda  \)

• αν \(  \lambda -2  >0 \)  \( \Leftrightarrow  \lambda >2 \)  τότε η ανίσωση   (1)   γράφεται ισοδύναμα: 

          \( (\lambda -2 )x \leq \lambda ^2 - 2\lambda   \overset{\text{διαιρούμε κατά μέλη με τον αρνητικό }  ( \lambda -2 ) \text{ οπότε αλλάζει η φορά}} {\Leftrightarrow}  \)    \(   \cfrac{(\lambda -2 )x}{(\lambda -2 )} \geq \cfrac{\lambda ^2 - 2\lambda}{(\lambda -2 ) }  \Leftrightarrow  \)   \(   \cfrac{(\lambda -2 )x}{(\lambda -2 )} \geq \cfrac{\lambda(\lambda - 2)}{(\lambda -2 )} \Leftrightarrow \)     \(   \cfrac{\cancel{(\lambda -2 )}x}{\cancel{(\lambda -2 )}} \geq \cfrac{\lambda\cancel{(\lambda -2 )}}{\cancel{(\lambda -2 )}} \Leftrightarrow \)            \(   x\geq \lambda  \)

• αν  \(  \lambda -2  =0 \)  \( \Leftrightarrow  \lambda =2 \)  τότε η ανίσωση   (1)   γράφεται ισοδύναμα: 

          \( (\lambda -2 )x \leq \lambda ^2 - 2\lambda  \overset{\text{αντικαθιστούμε το }   \lambda   \text{ με τον αριθμό } 2} {\Leftrightarrow}  \)         \( (2 -2)x \leq 2(2 - 2) \Leftrightarrow \)     \( 0x \leq 0 \)

            που ισχύει (ως ισότητα) για κάθε αριθμό \(  x \in \mathbb{R} \)

Τελικά, η αρχική ανίσωση,

• αν \( \lambda >2 \) έχει άπειρες λύσεις, όλους τους αριθμούς \( x \) για τους οποίους ισχύει \(   x\leq \lambda  \)
• αν \( \lambda <2 \) έχει άπειρες λύσεις, όλους τους αριθμούς \( x \) για τους οποίους ισχύει  \(   x\geq \lambda  \)
• αν  \(  \lambda -2  =0 \), έχει άπειρες λύσεις, κάθε αριθμό \(  x \in \mathbb{R} \)