Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

ΒΑΣΙΚΗ ΜΟΡΦΗ:  \( \alpha x+\beta > 0 \)   ή   \( \alpha x+\beta < 0 \)

Εργάζομαι όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή:

• Βήμα 1^ο:  Απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ των παρονομαστών.
• Βήμα 2^ο:  Απαλοιφή παρενθέσεων (με επιμεριστική ιδιότητα)
• Βήμα 3^ο:  Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους (κάθε όρος που μεταφέρεται στο άλλο μέλος, αλλάζει πρόσημο)
• Βήμα 4^ο:  Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων (δηλαδή κ'ανουμε πράξεις όπου μπορούν να γίνουν ή βγάζουμε τον άγνωστο κοινό παράγοντα)
• Βήμα 5^ο:  Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου, αν δεν είναι ίσος με μηδέν (0). Αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι μηδέν (0), τότε η ανίσωση ή είναι αδύνατη (δεν έχει λύση) ή αληθεύει για κάθε \(x\in \mathbb{R} \).

Προσοχή: Αν  πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα δυο μέλη της ανίσωσης με αρνητικό αριθμό πρέπει να αλλάξω τη φορά της ανίσωσης.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ

1.  (Άσκηση 1 σελ. 104 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να λύσετε τις ανισώσεις :

v)  \( \cfrac{x-1}{2}+\cfrac{2x+3}{4}<\cfrac{x}{6} \)

vi)  \( \cfrac{x-12}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{3}{4}>x \)

vii)  \( \cfrac{x-2}{2}+\cfrac{1-2x}{5}<\cfrac{x}{10}-\cfrac{2}{5} \)

Λύση

v)  \(  \cfrac{x-1}{2}+\cfrac{2x+3}{4}<\cfrac{x}{6} \overset{\text{    επί το ΕΚΠ  }(2,4,6)=12  }{\Leftrightarrow}  \)  

     \( 12\cdot \cfrac{x-1}{2}+12\cdot \cfrac{2x+3}{4}<12\cdot \cfrac{x}{6} \Leftrightarrow  \)  

     \( \cancel{12}^6\cdot \cfrac{x-1}{\cancel{2}}+ \cancel{12}^3\cdot \cfrac{2x+3}{\cancel{4}}< \cancel{12}^2\cdot \cfrac{x}{\cancel{6}} \Leftrightarrow  \)  

     \( 6(x-1)+3(2x+3)<2x \Leftrightarrow  \)

     \( 6x-6+6x+9<2x \Leftrightarrow  \)

     \( 12x-2x<-3 \Leftrightarrow  \)

     \( 10x<-3 \overset{\text{    διαιρούμε με τον συντελεστή } 10 \text{ του } x  }{\Leftrightarrow}  \) 

     \( \cfrac{10x}{10}<\cfrac{-3}{10}\)

     \( x<- \cfrac{3}{10} \Leftrightarrow \)

     \( x\in \left(-\infty ,-\frac{3}{10} \right)\)

vi)  \( \cfrac{x-12}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{3}{4}>x \overset{\text{    επί το ΕΚΠ  }(2,4)=4  }{\Leftrightarrow}  \) 

     \( 4\cdot \cfrac{x-12}{2}+4\cdot \cfrac{x}{2}+4\cdot \cfrac{3}{4} > 4\cdot x\Leftrightarrow \) 

     \( \cancel{4}^2 \cdot \cfrac{x-12}{ \cancel{2} }+\cancel{4}^2\cdot \cfrac{x}{\cancel{2}}+\cancel{4}^1 \cdot \cfrac{3}{\cancel{4}} > 4\cdot x\Leftrightarrow \)   

     \(2(x-12)+2x+3 > 4x\Leftrightarrow \) 

     \(2x-24+2x+3 > 4x\Leftrightarrow \) 

     \(2x +2x-4x  >  24-3  \Leftrightarrow \) 

     \(0x>21  \)  αδύνατη εξίσωση (δεν έχει λύσεις)

vii)  \( \cfrac{x-2}{2}+\cfrac{1-2x}{5}<\cfrac{x}{10}-\cfrac{2}{5} \overset{\text{    επί το ΕΚΠ  }(2,5)=10  }{\Leftrightarrow}  \) 

\(  10 \cdot \cfrac{x-2}{2} + 10 \cdot \cfrac{1-2x}{5} < 10\cdot \cfrac{x}{10} - 10\cdot \cfrac{2}{5} \Leftrightarrow \)

\(  \cancel{10}^5 \cdot \cfrac{x-2}{\cancel{2}}+\cancel{10}^2\cdot \cfrac{1-2x}{\cancel{5}}<\cancel{10}^1\cdot \cfrac{x}{\cancel{10}}-\cancel{10}^2\cdot \cfrac{2}{\cancel{5}} \Leftrightarrow \)

\( 5(x-2) +2(1-2x)<x-4  \Leftrightarrow \)

\( 5x-10 +2 -4x)<x-4  \Leftrightarrow \)

\( 5x-4x-x)<10-2-4  \Leftrightarrow \)

\( 0x <4  \Leftrightarrow \)

\( 0 <4  \Leftrightarrow \) που ισχύει για κάθε  \( x\in \mathbb{R} \)

2. (Άσκηση 2 σελ. 104 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις :

\( 3x-1<x+5 \)   και   \( 2-\cfrac{x}{2}\leq x+\cfrac{1}{2} \)

Λύση

Για την πρώτη ανίσωση ισχύουν:

\(  3x-1<x+5\Leftrightarrow 3x-x<5+1\Leftrightarrow 2x<6 \overset{:2 }{\Leftrightarrow } x<3  \)   \( (1)  \) 

Για την δεύτερη ανίσωση ισχύουν:

\(  2-\cfrac{x}{2}\leq x+\cfrac{1}{2} \overset{\cdot 2}{\Leftrightarrow }  \)  \(  2\cdot 2-2\cdot \cfrac{x}{2}\leq 2\cdot x+2\cdot \cfrac{1}{2}\Leftrightarrow \)   \( 2\cdot 2-\cancel{2}^1 \cdot \cfrac{x}{\cancel{2}}\leq 2\cdot x+\cancel{2}^1\cdot \cfrac{1}{\cancel{2}}\Leftrightarrow \)  \( 4-x\leq 2x+1 \Leftrightarrow\)   \( -x-2x \leq -4+1 \Leftrightarrow\)   \( -3x \leq -3  \overset{:(-3)<0}{\Leftrightarrow }  \) \(  \cfrac{-3x}{-3} \leq \cfrac{-3}{-3} \Leftrightarrow\)    \( x\geq 1 \)      \( (2)  \) 

Προσοχή: διαιρούμε τα μέλη της ανίσωσης με τον αρνητικό αριθμό  \( -3 \) οπότε αλλάζει η φορά της ανίσωσης.

Οι τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι δύο ανισώσεις είναι  \( 1\leq x < 3 1\leq x < 3 x\in [1,3)  \)