Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ
Κωδικός : G217121
-
Θεματικές Ενότητες
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\)
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α4. Ταυτότητες
-
Α4. Ταυτότητες - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A5. Παραγοντοποίηση
-
A5. Παραγοντοποίηση - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις)
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α11. Εξισώσεις 2ου βαθμού: \(\alpha x^2+\beta x+\gamma =0\) όπου \(\alpha \neq 0\)
-
Α12. Εξισώσεις που ανάγονται σε 2ου βαθμού
-
Α13. Παραμετρικές Εξισώσεις 2ου βαθμού
-
Α11-12-13. Εξισώσεις 2ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α14. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (βασική μορφή)
-
Α15. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (παραμετρικές)
-
Α16. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές
-
Α17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές (σύνθετες)
-
Α14-15-16-17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α18. Παραγοντοποίηση τριωνύμου
-
Α19. Πρόσημο τριωνύμου
-
Α20. Ανισώσεις \( 2^{ου} \) βαθμού (μορφές \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma >0 \) ή \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma <0, \alpha \neq 0 \) )
-
A21. Ανισώσεις "γινόμενο" και ανισώσεις "πηλίκο"
-
A18-19-20-21. Ανισώσεις \( 2^{ου}\) Βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
Α14. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (βασική μορφή)
ΒΑΣΙΚΗ ΜΟΡΦΗ: \( \alpha x+\beta > 0 \) ή \( \alpha x+\beta < 0 \)
Εργάζομαι όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή:
- Βήμα 1ο: Απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ των παρονομαστών.
- Βήμα 2ο: Απαλοιφή παρενθέσεων (με επιμεριστική ιδιότητα)
- Βήμα 3ο: Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους (κάθε όρος που μεταφέρεται στο άλλο μέλος, αλλάζει πρόσημο)
- Βήμα 4ο: Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων (δηλαδή κ'ανουμε πράξεις όπου μπορούν να γίνουν ή βγάζουμε τον άγνωστο κοινό παράγοντα)
- Βήμα 5ο: Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου, αν δεν είναι ίσος με μηδέν (0). Αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι μηδέν (0), τότε η ανίσωση ή είναι αδύνατη (δεν έχει λύση) ή αληθεύει για κάθε \(x\in \mathbb{R} \).
Προσοχή: Αν πολλαπλασιάσω ή διαιρέσω και τα δυο μέλη της ανίσωσης με αρνητικό αριθμό πρέπει να αλλάξω τη φορά της ανίσωσης.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ
1. (Άσκηση 1 σελ. 104 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να λύσετε τις ανισώσεις :
v) \( \cfrac{x-1}{2}+\cfrac{2x+3}{4}<\cfrac{x}{6} \)
vi) \( \cfrac{x-12}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{3}{4}>x \)
vii) \( \cfrac{x-2}{2}+\cfrac{1-2x}{5}<\cfrac{x}{10}-\cfrac{2}{5} \)
Λύση
v) \( \cfrac{x-1}{2}+\cfrac{2x+3}{4}<\cfrac{x}{6} \overset{\text{ επί το ΕΚΠ }(2,4,6)=12 }{\Leftrightarrow} \)
\( 12\cdot \cfrac{x-1}{2}+12\cdot \cfrac{2x+3}{4}<12\cdot \cfrac{x}{6} \Leftrightarrow \)
\( \cancel{12}^6\cdot \cfrac{x-1}{\cancel{2}}+ \cancel{12}^3\cdot \cfrac{2x+3}{\cancel{4}}< \cancel{12}^2\cdot \cfrac{x}{\cancel{6}} \Leftrightarrow \)
\( 6(x-1)+3(2x+3)<2x \Leftrightarrow \)
\( 6x-6+6x+9<2x \Leftrightarrow \)
\( 12x-2x<-3 \Leftrightarrow \)
\( 10x<-3 \overset{\text{ διαιρούμε με τον συντελεστή } 10 \text{ του } x }{\Leftrightarrow} \)
\( \cfrac{10x}{10}<\cfrac{-3}{10}\)
\( x<- \cfrac{3}{10} \Leftrightarrow \)
\( x\in \left(-\infty ,-\frac{3}{10} \right)\)
vi) \( \cfrac{x-12}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{3}{4}>x \overset{\text{ επί το ΕΚΠ }(2,4)=4 }{\Leftrightarrow} \)
\( 4\cdot \cfrac{x-12}{2}+4\cdot \cfrac{x}{2}+4\cdot \cfrac{3}{4} > 4\cdot x\Leftrightarrow \)
\( \cancel{4}^2 \cdot \cfrac{x-12}{ \cancel{2} }+\cancel{4}^2\cdot \cfrac{x}{\cancel{2}}+\cancel{4}^1 \cdot \cfrac{3}{\cancel{4}} > 4\cdot x\Leftrightarrow \)
\(2(x-12)+2x+3 > 4x\Leftrightarrow \)
\(2x-24+2x+3 > 4x\Leftrightarrow \)
\(2x +2x-4x > 24-3 \Leftrightarrow \)
\(0x>21 \) αδύνατη εξίσωση (δεν έχει λύσεις)
vii) \( \cfrac{x-2}{2}+\cfrac{1-2x}{5}<\cfrac{x}{10}-\cfrac{2}{5} \overset{\text{ επί το ΕΚΠ }(2,5)=10 }{\Leftrightarrow} \)
\( 10 \cdot \cfrac{x-2}{2} + 10 \cdot \cfrac{1-2x}{5} < 10\cdot \cfrac{x}{10} - 10\cdot \cfrac{2}{5} \Leftrightarrow \)
\( \cancel{10}^5 \cdot \cfrac{x-2}{\cancel{2}}+\cancel{10}^2\cdot \cfrac{1-2x}{\cancel{5}}<\cancel{10}^1\cdot \cfrac{x}{\cancel{10}}-\cancel{10}^2\cdot \cfrac{2}{\cancel{5}} \Leftrightarrow \)
\( 5(x-2) +2(1-2x)<x-4 \Leftrightarrow \)
\( 5x-10 +2 -4x)<x-4 \Leftrightarrow \)
\( 5x-4x-x)<10-2-4 \Leftrightarrow \)
\( 0x <4 \Leftrightarrow \)
\( 0 <4 \Leftrightarrow \) που ισχύει για κάθε \( x\in \mathbb{R} \)
2. (Άσκηση 2 σελ. 104 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι ανισώσεις :
\( 3x-1<x+5 \) και \( 2-\cfrac{x}{2}\leq x+\cfrac{1}{2} \)
Λύση
Για την πρώτη ανίσωση ισχύουν:
\( 3x-1<x+5\Leftrightarrow 3x-x<5+1\Leftrightarrow 2x<6 \overset{:2 }{\Leftrightarrow } x<3 \) \( (1) \)
Για την δεύτερη ανίσωση ισχύουν:
\( 2-\cfrac{x}{2}\leq x+\cfrac{1}{2} \overset{\cdot 2}{\Leftrightarrow } \) \( 2\cdot 2-2\cdot \cfrac{x}{2}\leq 2\cdot x+2\cdot \cfrac{1}{2}\Leftrightarrow \) \( 2\cdot 2-\cancel{2}^1 \cdot \cfrac{x}{\cancel{2}}\leq 2\cdot x+\cancel{2}^1\cdot \cfrac{1}{\cancel{2}}\Leftrightarrow \) \( 4-x\leq 2x+1 \Leftrightarrow\) \( -x-2x \leq -4+1 \Leftrightarrow\) \( -3x \leq -3 \overset{:(-3)<0}{\Leftrightarrow } \) \( \cfrac{-3x}{-3} \leq \cfrac{-3}{-3} \Leftrightarrow\) \( x\geq 1 \) \( (2) \)
Προσοχή: διαιρούμε τα μέλη της ανίσωσης με τον αρνητικό αριθμό \( -3 \) οπότε αλλάζει η φορά της ανίσωσης.
Οι τιμές του x για τις οποίες συναληθεύουν οι δύο ανισώσεις είναι \( 1\leq x < 3 1\leq x < 3 x\in [1,3) \)