Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα με απαντήσεις από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ του ΙΕΠ

 Θέμα 1251 (Θέμα 2ο)
Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α , β , γ , δ με β \( \neq \)  0  και δ \( \neq \) γ ώστε να ισχύουν:

\( \cfrac{\alpha +\beta }{\beta }=4 \)  και \( \cfrac{\gamma }{\delta -\gamma }=\cfrac{1}{4} \)

α. Να αποδείξετε ότι α = 3β και δ = 5γ

β. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: Π= \( \cfrac{\alpha \gamma +\beta \gamma }{\beta \delta -\beta \gamma } \)

Λύση
α. Έχουμε ισοδύναμα:

• \( \cfrac{\alpha +\beta }{\beta }=\cfrac{4}{1} \)              (πολλαπλασιάζουμε "χιαστί")
  \( \Leftrightarrow \alpha +\beta =4\beta \)
  \( \Leftrightarrow \alpha =3\beta  \)
  
  
• \( \cfrac{\gamma }{\delta -\gamma }=\cfrac{1}{4} \)               (πολλαπλασιάζουμε "χιαστί")
  \( \Leftrightarrow 4\gamma =\delta -\gamma \)
  \( \Leftrightarrow   5\gamma = \delta \) 
  δηλαδή  \(   \delta= 5 \gamma   \) 

β. Για α = 3β και δ = 5γ έχουμε

Π = \( \cfrac{\alpha \gamma +\beta \gamma }{\beta \delta -\beta \gamma } \)

   = \( \cfrac{3\beta \gamma +\beta \gamma } {\beta \cdot 5\gamma-\beta \gamma } \)

   = \( \cfrac{4\beta \gamma }{4\beta \gamma } \)

   = \( 1 \)

Θέμα 1254 (Θέμα 2ο)

Έστω x , y πραγματικοί αριθμοί ώστε να ισχύει: \( \cfrac{4x+5y}{x-4y}=-2 \)

α. Να αποδείξετε ότι: y =2x .
β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \( A=\cfrac{2x^2+3y^2+xy}{xy} \)

Λύση
α. Είναι: \( \cfrac{4x+5y}{x-4y}=-2 \) \( \Leftrightarrow  4x+5y=-2(x-4y) \) \(  \Leftrightarrow 4x+5y=-2x+8y  \) \( \Leftrightarrow 6x=3y  \) \( \Leftrightarrow y=2x\)

β. Για y =2x έχουμε:

\( A=\cfrac{2x^2+3y^2+xy}{xy} \) \( = \cfrac{2x^2+3(2x)^2+x\cdot 2x}{x\cdot 2x} \) \(  = \cfrac{2x^2+3\cdot 4x^2+2x^2}{2x^2}  \) \( = \frac{16x^2}{2x^2} = 8 \)

 Θέμα 13088 (Θέμα 2ο)

Έστω x , y πραγματικοί αριθμοί. Ορίζουμε: A \( = 2(x + y)^2 - (x - y)^2 - 6xy - y^2 \).
α. Να αποδείξετε ότι: A = \( x^2 \) .
β. Να αποδείξετε ότι o αριθμός B = \( 2 \cdot 2022^2 - 2020^2 - 6 \cdot 2021 -1 \) είναι ίσος με το τετράγωνο φυσικού αριθμού τον οποίο να προσδιορίσετε.
Λύση
α. Έχουμε:   Α = \( 2(x^2+ 2xy + y^2 ) - (x^2 - 2xy+ y^2 ) - 6xy - y^2 \) \(  = 2x^2+ 4xy + 2y^2   - x^2 +2xy- y^2 - 6xy - y^2 \) \(  = x^2 \)

β. Ο αριθμός Β είναι η αριθμητική τιμή της παράστασης Α για x = 2021 και y = 1 .
     Οπότε Β =\( 2021^2\) , επομένως ο ζητούμενος φυσικός είναι ο 2021.

Θέμα 13053 (Θέμα 2ο)

Έστω α, β, γ  πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν α + β + γ = 0 και αβγ \( \neq \) 0 .

α. Να αποδείξετε ότι

1.   β + γ = -α .
2. \( \cfrac{\alpha ^2}{\beta +\gamma }=-\alpha \)

β. Με παρόμοιο τρόπο να απλοποιήσετε τα κλάσματα \( \cfrac{\beta ^2}{\gamma +\alpha } \) , \( \cfrac{\gamma ^2}{\alpha +\beta } \)  και να αποδείξετε ότι \( \cfrac{\alpha ^2}{\beta +\gamma } + \cfrac{\beta ^2}{\gamma +\alpha } + \cfrac{\gamma ^2}{\alpha +\beta } =0 \)

Λύση
α. i. Από την ισότητα  α + β + γ = 0 , προκύπτει ότι β + γ = -α , που είναι το ζητούμενο.

     ii. Με τη βοήθεια του προηγούμενου υποερωτήματος, έχουμε:  \( \cfrac{\alpha ^2}{\beta +\gamma } =  \cfrac{\alpha ^2}{-\alpha }=-\alpha  \)

β. Από το ερώτημα (α) έχουμε:  \( \cfrac{\alpha ^2}{\beta +\gamma }=-\alpha \)

  Ομοίως, από τη δοσμένη ισότητα παίρνουμε γ + α = -β και α + β = - γ , οπότε

\( \cfrac{\beta ^2}{\gamma +\alpha } = \cfrac{\beta ^2}{-\beta }= -\beta  \)

\( \cfrac{\gamma ^2}{\alpha +\beta } = \cfrac{\gamma ^2}{-\gamma }= -\gamma \)

Επομένως, 

\( \cfrac{\alpha ^2}{\beta +\gamma } + \cfrac{\beta ^2}{\gamma +\alpha } + \cfrac{\gamma ^2}{\alpha +\beta } = - \alpha - \beta - \gamma = - ( \alpha + \beta + \gamma  ) = 0\)

Θέμα 12685 (Θέμα 2ο)

Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α , β \( \neq \) 0 , ισχύει ότι:
\( (\alpha +\beta )(\cfrac{1}{\alpha }+\cfrac{1}{\beta })=4 \), τότε να αποδείξετε ότι:

α.  \( \cfrac{\alpha }{\beta }+\cfrac{\beta }{\alpha }=2  \)

β.  \( \alpha =\beta  \)

Λύση
α. Έχουμε  \( (\alpha +\beta )(\cfrac{1}{\alpha }+\cfrac{1}{\beta })=4 \)

\(  \Leftrightarrow  \alpha \cdot \cfrac{1}{\alpha} +\alpha \cdot \cfrac{1}{\beta }+\beta \cdot \cfrac{1}{\alpha} +\beta \cdot \cfrac{1}{\beta }=4 \)

\(  \Leftrightarrow  \cancel{\alpha} \cdot \cfrac{1}{\cancel{\alpha}} +\alpha \cdot \cfrac{1}{\beta }+\beta \cdot \cfrac{1}{\alpha} +\cancel{\beta}  \cdot \cfrac{1}{\cancel{\beta} }=4 \)

 \(  \Leftrightarrow  1+\cfrac{\alpha }{\beta }+\cfrac{\beta }{\alpha }+1=4 \)

 \(  \Leftrightarrow  \cfrac{\alpha }{\beta }+\cfrac{\beta }{\alpha }=4-1-1 \)

 \(  \Leftrightarrow  \cfrac{\alpha }{\beta }+\cfrac{\beta }{\alpha }=2  \)

β.  Έχουμε \( \cfrac{\alpha }{\beta }+\cfrac{\beta }{\alpha }=2 \)    (Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη με την παράσταση \( \alpha \cdot \beta \) )

\( \Leftrightarrow \alpha \beta  \cdot \cfrac{\alpha }{\beta }+ \alpha \beta  \cdot \cfrac{\beta }{\alpha }= \alpha \beta  \cdot 2 \)

\( \Leftrightarrow \alpha \cancel {\beta}   \cdot \cfrac{\alpha }{ \cancel {\beta}  }+ \cancel {\alpha} \beta  \cdot \cfrac{\beta }{ \cancel {\alpha} }= \alpha \beta  \cdot 2 \)

\(  \Leftrightarrow \alpha ^2+\beta ^2=2\alpha \beta \) 

\(  \Leftrightarrow \alpha ^2 -2\alpha \beta + \beta ^2=0 \) 

\(  \Leftrightarrow (\alpha -\beta )^2=0 \) 

\(  \Leftrightarrow \alpha -\beta =0 \) 

\(  \Leftrightarrow \alpha =\beta  \)

Θέμα 1318 (Θέμα 2ο)

Δίνονται οι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί α , β , με α \( \neq \) β , για τους οποίους ισχύει:

\( \cfrac{\alpha ^2+1}{\beta ^2+1}=\cfrac{\alpha }{\beta } \)

α. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι.
β. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης:  \( \cfrac{\alpha ^{22}\cdot (\beta ^3)^8}{\alpha ^{-2}\cdot (\alpha \beta )^{25}}  \)

Λύση
α. Έχουμε  \( \cfrac{\alpha ^2+1}{\beta ^2+1}=\cfrac{\alpha }{\beta }  \)          (πολλαπλασιάζουμε "χιαστί")

\( \Rightarrow \beta (\alpha ^2+1)=\alpha (\beta ^2+1)  \)

\( \Rightarrow \alpha^2 \beta +\beta =\alpha \beta ^2+\alpha  \)

\( \Rightarrow \alpha^2 \beta +\beta -\alpha \beta ^2-\alpha =0  \)

\( \Rightarrow \alpha^2 \beta -\alpha \beta ^2 -\alpha +\beta =0  \)

\( \Rightarrow \alpha\beta (\alpha- \beta)-(\alpha -\beta) =0 \)

\( \Rightarrow (\alpha- \beta)(\alpha \beta -1)=0 \)

\( \Rightarrow \alpha- \beta =0 \) ή  \( \alpha \beta -1 =0 \)   

\( \Rightarrow \alpha \beta -1 =0 \)

\( \Rightarrow \alpha \beta =1 \)

Άρα οι αριθμοί α , β είναι αντίστροφοι.

β. Είναι  \( \cfrac{\alpha ^{22}\cdot (\beta ^3)^8}{\alpha ^{-2}\cdot (\alpha \beta )^{25}} \)

\(  = \cfrac{\alpha ^{22}\cdot \beta ^{24}}{\alpha ^{-2}\cdot \alpha ^{25} \cdot \beta ^{25}}  \)

\(  = \cfrac{\alpha ^{22}\cdot \beta ^{24}}{ \alpha ^{23} \cdot \beta ^{25}}  \)

\(  = \cfrac{ \cancel {\alpha ^{22}} 1 \cdot \cancel {\beta ^{24}} 1} { \alpha ^{ \cancel {23}^1} \cdot \beta ^{\cancel {25}^1}}  \)

\(  =\cfrac{1}{\alpha \cdot \beta } \)           (από το α.  έχουμε  \( \alpha \cdot \beta =1 \))

\( = \cfrac{1}{1} \)

\( =1   \)