Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Αν σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση  \( \alpha x^2+\beta x+\gamma =0\), με \(\alpha \neq 0\), ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές α, β, ή γ δεν είναι σταθερός αριθμός αλλά επηρεάζεται από μια παράμετρο λ, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική.

π.χ. η εξίσωση  \( \lambda x^2+2 x+3 =0\), με \(\lambda \neq 0\) είναι μια παραμετρική δευτεροβάθμια εξίσωση.

Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση \( \alpha x^2+\beta x+\gamma =0\), με \(\alpha \neq 0\):

• έχει δυο ρίζες άνισες, αρκεί να δείξουμε ότι \( \Delta >0 \)
• έχει πραγματικές ρίζες (δηλ. μια τουλάχιστον ), αρκεί να δείξουμε ότι \( \Delta \geq 0 \)
• έχει μια διπλή ρίζα, αρκεί να δείξουμε ότι  \( \Delta= 0 \)
• δεν έχει πραγματικές ρίζες (δηλ. είναι αδύνατη), αρκεί να δείξουμε ότι  \( \Delta < 0 \)

Οι τύποι του Vieta μπορούν να συνδυαστούν με τις ρίζες τις εξίσωσης και συγκεκριμμένα, αν θέλουμε η εξίσωση \( \alpha x^2+\beta x+\gamma =0\), με \(\alpha \neq 0\) να έχει:

• δυο ρίζες άνισες θετικές,             τότε πρέπει \( \Delta > 0,P>0  \) και \(  S>0 \)
• δυο ρίζες άνισες αρνητικές,        τότε πρέπει \( \Delta > 0,P>0  \) και \(  S<0 \)
• δυο ρίζες άνισες ετερόσημες,     τότε πρέπει \( \Delta > 0 \) και \( P<0  \)  
• δυο ρίζες αντιστροφές,                τότε πρέπει \( \Delta \geq 0 \) και \(  P=1  \)  
• δυο ρίζες αντίθετες,                      τότε πρέπει \( \Delta \geq 0 \) και \(  S=0  \)  
• μια μόνο ρίζα θετική  (διπλή),     τότε πρέπει \( \Delta =0 \) και \(  S>0  \)  
• μια μόνο ρίζα αρνητική (διπλή), τότε πρέπει \( \Delta =0 \) και \(  S<0  \) 
• μια μόνο ρίζα (διπλή), το μηδέν, τότε πρέπει \( \Delta =0 \) και \(  S=0  \) 

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.   (Άσκηση 3 σελ. 93 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες :

i.  \( \lambda x^2+2x-(\lambda -2)=0, \quad \lambda \neq 0 \)

ii.  \( \alpha x^2+(\alpha +\beta )x+\beta =0, \quad \alpha \neq 0  \)

Λύση
i. Αρκεί να δείξουμε ότι \( \Delta \geq 0 \)

   Έχουμε:  \( \alpha =\lambda , \quad \beta =2, \quad \gamma =-(\lambda -2) \)  και

                    \(  \Delta =\beta ^2-4\alpha \gamma = \)

                            \( =2^2-4\cdot \lambda \cdot [-(\lambda -2)]= \)

                            \( = 4+4\lambda (\lambda -2)= \)

                            \( = 4+4\lambda ^2-8\lambda = \)

                            \( = 4(\lambda ^2-2\lambda +1) = \)

                            \( = 4(\lambda -1)^2 \geq 0 \)    για κάθε \( \lambda \in \mathbb{R} \)  (άρα και για κάθε \( \lambda \neq 0 \) )

ii. Αρκεί να δείξουμε ότι \( \Delta \geq 0 \)

   Έχουμε:  \( A =\alpha , \quad B =(\alpha+\beta), \quad  \Gamma =\beta \)  και

                    \(  \Delta = B ^2-4 \cdot A \cdot \Gamma = \)

                           \( = (\alpha +\beta )^2-4\alpha \beta = \)

                            \(  =\alpha ^2+2\alpha \beta +\beta ^2-4\alpha \beta = \)

                            \(  =\alpha ^2-2\alpha \beta +\beta ^2 = \)

                            \(  =(\alpha -\beta )^2 \geq 0 \)   για κάθε \( \alpha, \beta  \in \mathbb{R} \)  (άρα και για κάθε \( \alpha \neq 0 \) )

2. (Άσκηση 4 σελ. 93 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να βρείτε τις τιμές του \( \mu \in \mathbb{R} \)  για τις οποίες η εξίσωση \( \mu x^2+2x+\mu =0, \quad \mu \neq 0  \), έχει διπλή ρίζα.

Λύση

Για να έχει η εξίσωση μια διπλή ρίζα πρέπει \(  \Delta = 0 \).

Έχουμε:  \( \alpha =\mu , \quad \beta =2, \quad \gamma =\mu  \)  οπότε

\(  \Delta = 0 \Leftrightarrow \) \(   \beta ^2-4\alpha \gamma =0 \Leftrightarrow \)

             \(  \Leftrightarrow 2 ^2-4\mu \cdot \mu = 0  \)

             \( \Leftrightarrow 4-4\mu ^2 = 0  \)

             \( \Leftrightarrow 4=4\mu ^2     \)

             \( \Leftrightarrow 4 \mu ^2 =4   \)

             \( \Leftrightarrow  \mu ^2 =1     \)

             \( \Leftrightarrow  \sqrt{\mu ^2} =\sqrt{1}     \)

             \( \Leftrightarrow  \left |\mu \right | =1  \)

             \(  \Leftrightarrow  ( \mu   =1     \)  ή  \(  \mu   =-1  )   \)