Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Μορφή 1η:  \(\alpha x^2+ \beta \left |x \right | + \gamma = 0,\alpha \neq 0\)      (1)

Ισχύει \( \left | x^2 \right | = x^2 \) οπότε η εξίσωση (1) γράφεται ισοδύναμα:

\(\alpha x^2+ \beta \left |x \right | + \gamma = 0 \Leftrightarrow \alpha \left |x \right |^2+ \beta \left |x \right | + \gamma = 0 \)             (2)

Έπειτα θέτουμε \( \left |x \right | =\omega \geq 0 \)        (Μ) 

και η  εξίσωση (2) γράφεται ισοδύναμα:

\( \alpha \omega^2+ \beta \omega  + \gamma = 0,\alpha \neq 0\)       (3)

Λύνουμε την εξίσωση  (3) ώς προς \(\omega  \), με \(\omega \geq 0 \) .

Για κάθε μη αρνητική τιμή του \(\omega  \) που θα βρούμε, αντικάθιστούμε στην (Μ) και βρίσκουμε τις αντίστοιχες τιμές του x.

π.χ.   (Άσκηση11ii σελ. 94 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)   
Να λύσετε την εξίσωση : \(  x^2+ 2\left |x \right | -35 = 0\)  

Λύση

Έχουμε \(  x^2+ 2\left |x \right | -35 = 0 \Leftrightarrow \left |x \right |^2+ 2\left |x \right | -35 = 0 \).

Θέτουμε \( \left |x \right | =\omega  \)        (Μ)

και  η εξίσωση γίνεται  \(  \omega ^2+ 2\omega -35 = 0 \) με διακρίνουσα \( \Delta =2^2-4\cdot 1\cdot \left ( -35 \right )=4+140=144 > 0 \)

και ρίζες \( \omega _{1,2}=\cfrac{-2\pm \sqrt{144}}{2}=\cfrac{-2\pm 12}{2}=\left\{\begin{matrix} \omega _1=5>0, δεκτή \qquad \\ \omega _2=-7<0, απορρίπτεται\end{matrix}\right. \)

Για \( \omega=\omega _1=5 \), η (Μ) γράφεται \(  \left |x \right | =5\Leftrightarrow (x=5 \quad ή \quad x=-5) \)  

Μορφή 2η: \( \alpha x^4+ \beta x^2 + \gamma = 0 , \alpha \neq 0  \)  (Διτετράγωνη εξίσωση)

Θέτουμε \( x^2=\omega \geq 0 \)   (M) και συνεχίζουμε όπως στην 1η Μορφή

π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : \(  2x^4-7x^2 -4= 0\)

Λύση

Θέτουμε \( x^2 = \omega  \geq 0  \)       (Μ)

και  η εξίσωση γίνεται  \(  2 \omega ^2-7 \omega  -4= 0 \) με διακρίνουσα \( \Delta =7^2-4\cdot 2\cdot \left ( -4\right )=49+32=81> 0 \)

και ρίζες \( \omega _{1,2}=\cfrac{-(-7)\pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2}=\cfrac{7\pm 9}{4}=\left\{\begin{matrix} \omega _1=4>0, δεκτή \qquad \\ \omega _2=- \cfrac{1}{2}<0, απορρίπτεται\end{matrix}\right. \)

Για \( \omega=\omega _1=4 \), η (Μ) γράφεται \(  x^2 =4\Leftrightarrow (x=2 \quad ή \quad x=-2) \)  

Μορφή 3η:  \( \alpha \left [A(x) \right ]^2 +\beta A(x)+\gamma =0\), με  \(  \alpha \neq 0 \) όπου \( A(x) \) είναι μια παράσταση του \(x\).

Θέτουμε \( A(x)= \omega \geq 0 \)    και συνεχίζουμε όπως στην 1η Μορφή

π.χ. Να λυθεί η εξίσωση \( \left ( x^2+1 \right )^2+7 \left ( x^2+1 \right )+10=0 \)

Λύση

Θέτουμε \( x^2+1=\omega \geq 0 \)   (M) οπότε η εξίσωση γίνεται

\( \omega^2+7 \omega +10=0 \) με διακρίνουσα

\( \Delta =\left ( -7 \right )^2-4\cdot 1\cdot 10=49-40=9>0 \) και ρίζες 

\( \omega _{1,2} = \cfrac{ - \left ( -7 \right ) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \cfrac{7 \pm 3}{2} =  \left\{ \begin{matrix} \omega _1=5\\ \omega _2=2 \end{matrix}\right.  \)

\( \left ( x^2+1 \right )^2+7\left ( x^2+1 \right )+10=0  \)

Μορφή 4η: Κλασματικές εξισώσεις

Για να λύσουμε μια κλασματική εξίσωση, δηλαδή μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή,

Βήμα 1ο: παραγοντοποιoύμε τους παρανομαστές και βρίσκουμε το ΕΚΠ τους,

Βήμα 2ο: παίρνουμε περιορισμούς για τους παρονομαστές,

Βήμα 3ο: πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο της εξίσωσης με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών

Βήμα 4ο: λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει,

Βήμα 5ο: ελέγχουμε αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς.

π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : \( \cfrac{x}{x-1}-\cfrac{2}{x+1}=\cfrac{8}{x^2-1} \)

Λύση

\( \cfrac{x}{x-1}-\cfrac{2}{x+1}=\cfrac{8}{x^2-1} \Leftrightarrow \)

\( \cfrac{x}{x-1}-\cfrac{2}{x+1}=\cfrac{8}{\left (x -1 \right )\left (x +1 \right )}   \)        (1)

ΕΚΠ = \(  (x -1 ) ( x +1 ) \)

Πρέπει  \(  (x -1) (x +1)  \neq 0  \Leftrightarrow    ( x -1 \neq 0 \) και \(  x +1  \neq 0 ) \)

                                                     \(  \Leftrightarrow    ( x \neq  1  \) και \(  x \neq -1  ) \)

H (1) γράφεται ισοδύναμα:

ΕΚΠ \( \cdot \cfrac {x}{x-1}- \) ΕΚΠ \( \cdot \cfrac {2}{x+1} = \) ΕΚΠ \( \cdot \cfrac{8}{\left (x -1 \right )\left (x +1 \right )}  \Leftrightarrow  \) 

\(  (x -1 ) ( x +1 ) \) \( \cdot \cfrac {x}{x-1}- \) \(  (x -1 ) ( x +1 ) \) \( \cdot \cfrac {2}{x+1} = \) \(  (x -1 ) ( x +1 ) \) \( \cdot \cfrac{8}{\left (x -1 \right )\left (x +1 \right )}  \Leftrightarrow  \) 

\(  \cancel{(x -1 )}  ( x +1 ) \) \( \cdot \cfrac {x}{ \cancel{(x -1 )}}- \) \(  (x -1 ) \cancel{( x +1 )} \) \( \cdot \cfrac {2}{ \cancel{( x +1 )}} = \) \( \cancel{ (x -1 ) ( x +1 )} \) \( \cdot \cfrac{8}{ \cancel{ (x -1 ) ( x +1 )} }  \Leftrightarrow  \) 

\(   ( x +1 )  \cdot x- (x -1 )  \cdot 2 = 8  \Leftrightarrow  \) 

\(   x^2+x-2x+2=8  \Leftrightarrow  \) 
\(   x^2-x-6=0    \)   

Η τελευταία εξίσωση είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα \( \Delta =(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-6 )=1+24=25> 0 \)

και ρίζες \( x _{1,2}=\cfrac{ -(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}=\cfrac{1\pm 5}{2}=\left\{\begin{matrix} x_1=\cfrac{1+ 5}{2}=3,  δεκτή  \\ x_2=\cfrac{1- 5}{2}=-2 ,  δεκτή   \end{matrix}\right. \)