Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι: \( \alpha x^2+\beta x+\gamma =0\) όπου τα γράμματα \( \alpha,\beta,\gamma\)  παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με \(\alpha \neq 0\).

Οι σταθερές \( \alpha,\beta\) και \(\gamma\) ονομάζονται συντελεστές με

• το \( \alpha\) να είναι ο συντελεστής του \( x^2 \)
• το \( \beta\) να είναι ο συντελεστής του \( x \) και
• το \( \gamma\) είναι ο σταθερός όρος.

Η ποσότητα: \( \Delta =\beta ^2-4\alpha \gamma \) ονομάζεται διακρίνουσα

Η εξίσωση \( \alpha x^2+\beta x+\gamma =0\) με \(\alpha \neq 0\):

• αν \( \Delta > 0 \), έχει δύο άνισες λύσεις τις \( x_{1,2}=\cfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha } \)
• αν \( \Delta = 0 \), έχει μία διπλή λύση την  \( x =\cfrac{-\beta }{2\alpha } \)
• αν \( \Delta< 0 \), δεν έχει λύση (αδύνατη).

π.χ.1 Να λύσετε την εξίσωση : \( x^2-3x+2=0 \)

Είναι \( \alpha =1, \beta =-3, \gamma =2\) και \(  \Delta = \beta ^2-4\alpha \gamma = 3^2-4\cdot 1\cdot 2 = 9-8 = 1 > 0\)    οπότε η εξίσωση έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες, τις 

\( x_{1,2}=\cfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }= \cfrac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2\cdot 1 }= \cfrac{3 \pm 1}{2 } \) \( = \left\{\begin{matrix} x_1=\cfrac{3+1}{2}\\ x_2=\cfrac{3-1}{2} \end{matrix}\right. \) \( = \left\{\begin{matrix} x_1=2\\ x_2=1 \end{matrix}\right. \)

π.χ.2 Να λύσετε την εξίσωση : \( x^2+10x+25=0 \)

Είναι \( \alpha =1, \beta =10, \gamma =25\) και \( \Delta = \beta ^2-4\alpha \gamma =10^2-4\cdot 1\cdot 25=100-100= 0 \) οπότε η εξίσωση έχει μια πραγματική (διπλή) ρίζα, την 

\( x_{1}=\cfrac{-\beta }{2\alpha }= \cfrac{-10 }{2\cdot 1 }= \cfrac{-10}{2 }=-5 \) 

π.χ.3 Να λύσετε την εξίσωση : \(\left (x-3 \right )^2+4x=-3 \)

Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:

\( \left (x-3 \right )^2+4x=-3\Leftrightarrow x^2-6x+9+4x+3=0\Leftrightarrow x^2-2x+12=0 \)

οπότε είναι \( \alpha =1, \beta =-2, \gamma =12\) και\( \Delta = \beta ^2-4\alpha \gamma =(-2)^2-4\cdot 1\cdot 12=4-48= -44< 0 \) άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

Εξίσωση 2ου βαθμού ελλιπούς μορφής.

Όταν \( \beta =0\)  ή \( \gamma =0\), τότε η εξίσωση \( \alpha x^2+\beta x+\gamma=0 , \alpha \neq 0 \)  (1) λέμε ότι έχει ελλιπή μορφή και μπορεί να λυθεί πιο εύκολα χωρίς τη χρήση της διακρίνουσας.

Ειδικότερα:

1.  Αν \( \beta =0\) τότε η (1) γράφεται ισοδύναμα:

     \(  \alpha x^2+\gamma=0 \Leftrightarrow \alpha x^2=-\gamma \Leftrightarrow x^2=-\cfrac{\gamma}{\alpha}\)  (2)

•      Αν \(-\cfrac{\gamma}{\alpha}>0\) τότε η εξίσωση (2), οπότε και η εξίσωση (1), έχει 2 άνισες ρίζες, τις \(x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{\gamma}{\alpha}}\)
•     Αν \(-\cfrac{\gamma}{\alpha}=0\) τότε η εξίσωση (2), οπότε και η εξίσωση (1),  έχει 1 διπλή ρίζα, την  \( x_1=0 \)
•     Αν \(-\cfrac{\gamma}{\alpha}<0\) τότε η εξίσωση (2), οπότε και η εξίσωση (1), είναι αδύνατη.

    π.χ.1   \(x^2-16=0\Leftrightarrow x^2=16\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{16}\Leftrightarrow x=\pm 4 \)

    π.χ.2   \(x^2+5=0\Leftrightarrow x^2=-5 \) αδύνατη εξίσωση.

2.  Αν \( \gamma =0\) τότε η (1) γράφεται ισοδύναμα:

     \(  \alpha x^2+\beta x =0 \Leftrightarrow \)      \(x\left (\alpha x+\beta \right )=0  \Leftrightarrow \)

                                 \(\Leftrightarrow x=0   \) ή  \( \alpha x+\beta =0 \Leftrightarrow \) 

                                 \( \Leftrightarrow x=0   \) ή  \( \alpha x=-\beta  \Leftrightarrow \) 

                                 \(\Leftrightarrow x=0   \) ή  \(  x=-\cfrac{\beta}{\alpha}   \)   (2 ρίζες)

    π.χ.1   \(x^2-5x=0\Leftrightarrow x(x-5)=0\Leftrightarrow (x=0\) ή \( x-5=0) \Leftrightarrow (x=0 \) ή \( x=4) \)

ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ VIETA

Στην περίπτωση που η εξίσωση \(\alpha x^2+\beta x+\gamma =0, \; \alpha \neq 0,\) έχει πραγματικές ρίζες \(x_1, x_2\), τότε για το άθροισμα \( S = x_1 + x_2\) και το γινόμενο  \( P = x_1 \cdot x_2 \) ισχύουν οι τύποι του Vieta :

•   \(S=x_1+x_2=-\cfrac{\beta }{\alpha }\)
•   \(P=x_1\cdot x_2= \cfrac{\gamma }{\alpha }\)

Με τη βοήθεια των τύπων του Vieta η εξίσωση  \(\alpha x^2+\beta x+\gamma =0, \;  \alpha \neq 0,\) μετασχηματίζεται:

\( \alpha x^2+\beta x+\gamma =0\Leftrightarrow \) \( \cfrac{\alpha x^2+\beta x+\gamma}{\alpha}=0  \)                \( (\alpha \neq 0) \)

                                   \(\Leftrightarrow x^2+\cfrac{\beta}{\alpha} x+\cfrac{\gamma}{\alpha}=0  \)

                                   \(\Leftrightarrow x^2-\left (-\cfrac{\beta}{\alpha} \right ) x+\cfrac{\gamma}{\alpha}=0  \)

                                   \(\Leftrightarrow x^2-P x+S=0 \)

                                   \(\Leftrightarrow x^2-(x_1+x_2) x+(x_1\cdot x_2)=0 \)

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.  (Άσκηση 6 σελ. 94 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να βρείτε, σε κάθε περίπτωση, μια εξίσωση 2ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς :

i. \( 2 \) και \(3 \) 

Λύση

i. Μια απάντηση αποτελεί η εξίσωση  της μορφής \(x^2-P x+S=0 \) με

  \(S=x_1+x_2=2+3=5\) και \(P=x_1\cdot x_2=2\cdot 3=6\),

   δηλαδή η εξίσωση:   \(x^2-5x+6=0\)

Σχόλιο 1: Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση που βρήκαμε παραπάνω, με οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό λ, θα προκύψει νέα εξίσωση με τις ίδιες ρίζες 2 και 3. Έτσι μπορούμε να βρούμε άπειρες εξισώσεις με ρίζες τους αριθμούς 2 και 3.
Π.χ. για λ=10, η εξίσωση \(10(x^2-5x+6)=0  \Leftrightarrow 10x^2-50x+60=0\) έχει ρίζες τους αριθμούς 2 και 3.

Σχόλιο 2: Πιο εύκολη λύση του προβλήματος είναι η : \((x-2)(x-3)=0\)

2.  (Άσκηση 7 σελ. 94 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Σε κάθε περίπτωση,να βρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν
i.    Άθροισμα \( 2 \) και γινόμενο \(-15 \)

Λύση

i. Είναι \(S=x_1+x_2=2\) και  \(P=x_1\cdot x_2=-15\) οπότε οι αριθμοί που ψάχνουμε θα είναι οι ρίζες \(x_1, x_2\)  της 2ου βαθμού εξίσωσης:

\( x^2-Sx+P=0\Leftrightarrow x^2-2x-15=0\).

Η εξίσωση αυτή έχει διακρίνουσα \(\Delta =\left ( -2 \right )^2-4\cdot 1\cdot \left ( -15 \right )=4+60=64>0\)

οπότε οι δυο ρίζες της είναι οι 

\(x_{1,2}=\cfrac{-\left ( -2 \right )\pm \sqrt{64 }}{2\cdot 1}=\cfrac{-2\pm 8}{2} = \left\{\begin{matrix} x_1=\cfrac{2+8}{2}=5\\ x_2=\cfrac{2-8}{2}=-3\end{matrix}\right. \)