Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1) Αν \( \alpha>0 \) και \( \nu =\)περιττός, τότε η εξίσωση \(x^\nu =\alpha \) έχει ακριβώς μια λύση \( x=\sqrt[\nu ]{\alpha }\)

       π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : \(x^3-27=0\)

       Λύση

       \(x^3-27=0 \Leftrightarrow x^3=27\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{27}\Leftrightarrow x=3\)

2) Αν \( \alpha>0 \) και \( \nu=\) άρτιος, τότε η εξίσωση \(x^\nu =\alpha \) έχει ακριβώς δυο λύσεις \(x=\pm \sqrt[\nu ]{\alpha }\)

       π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : \(x^4-256=0\)

       Λύση

       \(x^4-256=0 \Leftrightarrow x^4=256\Leftrightarrow x=\pm \sqrt[4]{256}\Leftrightarrow x=\pm 4\)

3) Αν \( \alpha<0 \) και \( \nu=\)περιττός, τότε η εξίσωση \(x^\nu =\alpha \) έχει ακριβώς μια λύση \(x=-\sqrt[\nu ]{-\alpha }\)

       π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : \(x^3+64=0\)

       Λύση

       \(x^3+64=0 \Leftrightarrow x^3=-64\Leftrightarrow x=-\sqrt[3]{64}\Leftrightarrow x=-4\)

4) Αν \( \alpha<0 \) και \( \nu=\)άρτιος, τότε η εξίσωση \(x^\nu =\alpha \) δεν έχει λύσεις (αδύνατη)

       π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : \(x^6+5=0\)

       Λύση

       \(x^6+5=0 \Leftrightarrow x^6=-5\) αδύνατη εξίσωση. 

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. (Άσκηση 1 σελ. 87 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να λύσετε τις εξισώσεις :
i. \(x^3-125=0\)
  Λύση :
i.   \( x^3-125=0 \Leftrightarrow x^3=125\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{125}\Leftrightarrow x=5 \)

2. (Άσκηση 2 σελ. 87 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να λύσετε τις εξισώσεις :
ii. \( x^5+243=0 \)
Λύση :

ii.   \( x^5+243=0 \Leftrightarrow x^5=-243\Leftrightarrow x=-\sqrt[5]{243}\Leftrightarrow x=-3 \)

3. (Άσκηση 4 σελ. 87 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να λύσετε τις εξισώσεις :
iii.  \( x^5+16x=0 \)
Λύση :

iii.   \( x^5+16x=0 \Leftrightarrow x\left ( x^4+16 \right )=0\Leftrightarrow \)

                                  \(\Leftrightarrow  x=0\)  ή  \(   x^4+16 =0\)

                                  \(\Leftrightarrow  x=0\)  ή  \(  ( x^4=-16  \) αδύνατη )

                                  \(\Leftrightarrow  x=0\)