Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή :

\(\alpha x+ \beta =0\)  ή ισοδύναμα  \(\alpha x=-\beta \)

λέγεται εξίσωση 1ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το x.

Κάθε αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης.

Οι αριθμοί \(\alpha \) και \( \beta  \) λέγονται συντελεστές της εξίσωσης.

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

• Αν \(\alpha \neq 0\), η εξίσωση (1) έχει μόνο μια λύση (ρίζα), την \(x=\cfrac{-\beta }{\alpha }\)
• Αν \(\alpha=0\) και \(\beta \neq 0\), η εξίσωση (1) είναι αδύνατη (δεν έχει λύση)
• Αν \(\alpha=0\) και \(\beta =0\), η εξίσωση (1) είναι ταυτότητα ή αόριστη (αληθεύει για κάθε πραγματικό)

ΒΗΜΑΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1^ου ΒΑΘΜΟΥ

• Βήμα 1^ο:  Απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας επί το ΕΚΠ των παρονομαστών.
• Βήμα 2^ο:  Απαλοιφή παρενθέσεων (με επιμεριστική ιδιότητα)
• Βήμα 3^ο:  Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους όρους (κάθε όρος που μεταφέρεται στο άλλο μέλος, αλλάζει πρόσημο)
• Βήμα 4^ο:  Κάνουμε αναγωγές ομοίων όρων (δηλαδή κ'ανουμε πράξεις όπου μπορούν να γίνουν ή βγάζουμε τον άγνωστο κοινό παράγοντα)
• Βήμα 5^ο:  Διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου, αν δεν είναι ίσος με μηδέν (0). Αν ο συντελεστής του αγνώστου είναι μηδέν (0), τότε η εξίσωση είναι αδύνατη ή αόριστη.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.  (Άσκηση 1 σελ. 83 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου) 
Να λύσετε τις εξισώσεις :

i.  \(4x-3(2x-1)=7x-42 \)

ii.   \(\cfrac{1-4x}{5}-\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{x-4}{20}+\cfrac{5}{4}\)

Λύση

i.  \( 4x-3(2x-1)=7x-42\Leftrightarrow\)

     \(   4x-6x+3=7x-42\Leftrightarrow\)

     \(   4x-6x-7x=-3-42\Leftrightarrow\)

     \(   -9x=-45\Leftrightarrow \)

     \(    \cfrac{-9x}{-9}=\cfrac{-45}{-9}\Leftrightarrow\)

     \(   x=5 \)

ii.  Για την εξίσωση  \(\cfrac{1-4x}{5}-\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{x-4}{20}+\cfrac{5}{4} \), πρώτα θα απαλλαγώ από τα κλάσματα.

      Βρίσκω το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των παρονομαστών: ΕΚΠ(4,5,20)=20 και στη συνέχεια πολ/ζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να κάνω απαλοιφή παρανομαστών.

     \(\cfrac{1-4x}{5}-\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{x-4}{20}+\cfrac{5}{4} \Leftrightarrow\)

     \( EK\Pi \cdot \cfrac{1-4x}{5}-EK\Pi \cdot \cfrac{x+1}{4}=EK\Pi \cdot \cfrac{x-4}{20}+EK\Pi \cdot \cfrac{5}{4} \Leftrightarrow \)

     \( 20 \cdot \cfrac{1-4x}{5}-20 \cdot \cfrac{x+1}{4}=20\cdot \cfrac{x-4}{20}+20 \cdot \cfrac{5}{4} \Leftrightarrow \)

     \(4(1-4x)-5(x+1)=(x-4)+25 \Leftrightarrow \)

     \( 4-16x-5x-5=x-4+25  \Leftrightarrow \)

     \(  -16x-5x-x = -4+5-4+25  \Leftrightarrow \)

     \( -22x=22  \Leftrightarrow \)

     \( \cfrac{-22x}{-22}=\cfrac{22}{-22} \Leftrightarrow \)

     \( x=-1   \)

2.  (Άσκηση 2 σελ. 83 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να λύσετε τις εξισώσεις :

i.   \(2(3x-1)-3(2x-1)=4\)

ii.  \(2x-\cfrac{5-x}{3}=-\cfrac{5}{3}+\cfrac{7x}{3} \)

Λύση

i. \(2(3x-1)-3(2x-1)=4\Leftrightarrow  \) 

 \(6x - 2 - 6x + 3 = 4 \Leftrightarrow \) 

 \(6x - 6x = 4 - 3 + 2\Leftrightarrow \) 

 \(0x =3\)  Η εξίσωση είναι αδύνατη (δηλ. δεν επαληθεύεται για καμία τιμή του x, καμία λύση)

ii.  \(2x-\cfrac{5-x}{3}=-\cfrac{5}{3}+\cfrac{7x}{3} \Leftrightarrow           \)

\( 6x-3\cfrac{5-x}{3}=-3\cfrac{5}{3}+3\cfrac{7x}{3}\Leftrightarrow \)

\( 6x-\left ( 5-x \right )=-5+7x\Leftrightarrow \)

\( 6x -5+ x =-5+7x \Leftrightarrow \)

\( 7x -7x =-5+5 \Leftrightarrow \)

\(0x= 0  \)  Η εξίσωση είναι ταυτότητα (δηλ. αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x, άπειρες λύσεις)

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Σε μια πρωτοβάθμια εξίσωση \(\alpha x+\beta =0\) , αν οι συντελεστές \(\alpha  \) και \( \beta  \) είναι παράμετροι, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική.

Στις παραμετρικές εξισώσεις ο άγνωστος συνήθως συμβολίζεται με \( x \) ενώ η παράμετρος με \( \lambda \)  ή \(  \mu \)   ή κάποιο άλλο γράμμα.

Έτσι όταν χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, κάθε όρος που περιέχει το x θεωρείται άγνωστος και μεταφέρεται στο 1ο μέλος, ενώ κάθε όρος που περιέχει το λ (ή μ κτλ) θεωρείται γνωστός και μεταφέρεται στο 2ο μέλος.

Για να λύσουμε μια παραμετρική πρωτοβάθμια εξίσωση :
Βήμα 1 : φέρνω την εξίσωση στη μορφή \(\alpha x=-\beta \)
Βήμα 2 : βρίσκω τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες ισχύει : \(\alpha x=0 \)
Βήμα 3 : όταν \(\alpha \neq 0\), η εξίσωση \(\alpha x=-\beta \) έχει ακριβώς μια λύση τη \(x=-\cfrac{\beta }{\alpha }\)
Βήμα 4 : για τις τιμές της παραμέτρου που ισχύει \(\alpha = 0\), αντικαθιστώ στην αρχική εξίσωση και προκύπτει είτε αδύνατη είτε ταυτότητα (αόριστη)

π.χ.  Να λύσετε την εξίσωση \( \lambda ^2x-\lambda =x-1\)  για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου \(\lambda\).

Λύση

Βήμα 1:    \(  \lambda ^2x-\lambda =x-1\Leftrightarrow \lambda ^2x-x =\lambda-1\Leftrightarrow\left ( \lambda ^2-1 \right )x=\lambda -1\)     (1)

Βήμα 2:  \( \lambda ^2-1=0\Leftrightarrow \lambda ^2=1 \Leftrightarrow \sqrt{\lambda ^2}=\sqrt{1}\Leftrightarrow
                 \left | \lambda \right |=1\Leftrightarrow \lambda =1 \) ή  \(\lambda =-1 \)

Βήμα 3:  Αν \(\lambda \neq 1\) και \(\lambda \neq -1\), η εξίσωση έχει μοναδική λύση :

               \( (\lambda^2-1)x=\lambda -1  \Leftrightarrow  \) \( \cfrac{(\lambda^2-1)x}{\lambda^2-1}=\cfrac{\lambda -1}{\lambda^2-1}  \)

                                      \(  \Leftrightarrow x=\cfrac{\lambda -1}{(\lambda-1)(\lambda+1)} \) 

                                      \(  \Leftrightarrow x=\cfrac{1}{\lambda+1} \)

Βήμα 4:   

• Αν \( \lambda =1 \)  τότε η εξίσωση (1) γράφεται   
  \( (\lambda ^2-1)x =\lambda -1 \Leftrightarrow \)
  \((1^2-1)x =1 -1 \Leftrightarrow \)
  \( 0x =0          \)   είναι ταυτότητα (κάθε αριθμός x είναι λύση της εξίσωσης)
• Αν  \(\lambda =-1\) τότε η εξίσωση (1) γράφεται   
  \( (\lambda ^2-1)x =\lambda -1 \Leftrightarrow  \)
  \( ((-1)^2-1)x =-1 -1 \Leftrightarrow  \)
  \( 0x =-2 \)      είναι αδύνατη .

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ

Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με τη βοήθεια της πρότασης :

«Ένα  γινόμενο παραγόντων είναι μηδέν, όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν»:

\(\alpha \cdot \beta =0\Leftrightarrow \) (\(\alpha =0 \) ή  \(\beta =0 \) )     (1)

Η διαδικασία  είναι η εξής :
Βήμα 1 : μεταφέρω όλους τους όρους στο 1ο μέλος, οπότε στο 2ο μένει το μηδέν
Βήμα 2 : παραγοντοποιώ το 1ο μέλος, ώστε να σχηματιστεί "γινόμενο παραγόντων ισο με το μηδέν", οπότε εφαρμόζουμε την  (1).

ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΕΙΣ

Παραγοντοποίηση είναι η διαδικασία µε την οποία µία παράσταση που είναι άθροισµα µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων.

Η παραγοντοποίηση είναι χρήσιµη σε

• Απλοποιήσεις,
• Εύρεση Ε.Κ.Π και Μ.Κ.∆,
• Λύση εξΙσώσεων κ.α.

Μέθοδοι παραγοντοποίησης

Μέθοδος 1η. Κοινός παράγοντας
                      \( \alpha x + \alpha y = \alpha (x + y)\)

Μέθοδος 2η. Kατά οµάδες
                    \(    \alpha x + \alpha y + \beta x + \beta y =(\alpha x + \alpha y) + (\beta x + \beta y) =\)
                   \(   = \alpha (x + y) + \beta (x + y) = (x + y)(\alpha + \beta ) \)

Μέθοδος 3η. ∆ιαφορά τετραγώνων
                  \(\alpha ^2-\beta ^2=(\alpha -\beta )(\alpha +\beta ) \)

Μέθοδος 4η. Άθροισµα κύβων - ∆ιαφορά κύβων
                   \(  \alpha ^3+\beta ^3=(\alpha +\beta )(\alpha^2-\alpha \cdot \beta +\beta ^2 )\)
                   \(  \alpha ^3-\beta ^3=(\alpha -\beta )(\alpha^2+\alpha \cdot \beta +\beta ^2 )\)
       
Μέθοδος 5η. Ανάπτυγµα τετραγώνου
                  \( \alpha ^2+2\alpha \beta +\beta ^2=(\alpha +\beta )^2 \)
                  \( \alpha ^2-2\alpha \beta +\beta ^2=(\alpha -\beta )^2 \)
                                    
Μέθοδος 6η. Ανάπτυγµα κύβου
                   \( x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = (x + y)^3\)
                   \( x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = (x - y)^3\)

Μέθοδος 7η. ∆ιάσπαση – προσθαφαίρεση όρου-όρων
                  π.χ. \( x^4 + y^4 =\)
                          \(=x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - 2x^2y^2 = \)
                          \(=(x^2 + y^2)^2-2x^2y^2 =\)
                          \(= (x^2 + y2)^2- (\sqrt{2}xy)^2 =\)
                          \(=(x^2 + y2-\sqrt{2}xy)(x^2 + y2+\sqrt{2}xy) \)

Μέθοδος 8η. Συνδυασµός των παραπάνω μεθόδων.
                 
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.  (Άσκηση 7 σελ. 84 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να λύσετε τις εξισώσεις :

i.   \( x^2(x-4)+2x(x-4)+(x-4)=0 \)

ii.  \((x-2)^2-(2-x)(4-x)=0 \)

Λύση

i.  \( x^2(x-4)+2x(x-4)+(x-4)=0 \Leftrightarrow \)
    \( (x-4)(x^2+2x+1)=0 \Leftrightarrow \)
    \( x-4=0 \) ή \( x^2+2x+1 =0 \Leftrightarrow \)
    \( x=4 \) ή \( (x+1)^2 =0 \Leftrightarrow \)
    \( x=4 \) ή \(  x+1  =0 \Leftrightarrow \)
    \( x=4 \) ή \(  x=-1\)

ii.  \((x-2)^2-(2-x)(4-x)=0 \Leftrightarrow \)
      \((x-2)^2+(x-2)(4-x)=0 \Leftrightarrow \)
      \((x-2) \left [(x-2)+(4-x) \right ] =0 \Leftrightarrow \)
      \((x-2) ( x-2 + 4-x  ) =0 \Leftrightarrow \)
      \((x-2) ( 2x+2  ) =0 \Leftrightarrow \)
      \( x-2=0 \) ή \(  2x+2  =0 \Leftrightarrow \)  
      \( x=2 \) ή \(  2x=-2   \Leftrightarrow \)  
      \( x=2 \) ή \(  x=-1    \)  

2.  (Άσκηση 10 σελ. 84 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να λύσετε τις εξισώσεις :

i.   \(x^3-2x^2-x+2=0\)

ii.   \(x^3-2x^2-(2x-1)(x-2)=0\)

Λύση

i.  \(x^3-2x^2-x+2=0 \Leftrightarrow \)

    \(x^2(x-2)-(x-2)=0 \Leftrightarrow \)

    \((x-2)(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \)

    \((x-2)(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \)

    \(x-2=0 \) ή \(   x^2-1 =0 \Leftrightarrow \)

    \(x=2 \)    ή \(   x^2=1 \Leftrightarrow \)

    \(x=2 \)    ή \(   x^2=1 \Leftrightarrow \)

    \(x=2 \)    ή \(  \left |x \right |=1 \Leftrightarrow \)

    \(x=2 \)    ή  \(   x  =1   \) ή \(   x  =-1   \)

ii.   \(x^3-2x^2-(2x-1)(x-2)=0  \Leftrightarrow\)

      \(x^2(x-2)-(2x-1)(x-2)=0 \Leftrightarrow\) 

      \((x-2)\left [x^2-(2x-1) \right ]=0 \Leftrightarrow\) 

      \(  x-2 =0\)   ή        \( x^2- 2x+1 =0               \Leftrightarrow\) 

      \(  x=2 \)      ή        \((x-1)^2 =0              \Leftrightarrow\) 

     \(  x=2 \)      ή        \(   x-1 =0              \Leftrightarrow\) 

      \(  x=2 \)      ή        \(   x=1     \)

ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή,

Βήμα 1 : παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους,
Βήμα 2 : παίρνω περιορισμούς: παρονομαστές \(\neq 0\)
Βήμα 3 : πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει,
Βήμα 4 : ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς.

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1.  (Άσκηση 12 σελ. 84 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να λύσετε τις εξισώσεις :

i.  \( \cfrac{1}{x-1}+\cfrac{1}{x+1}=\cfrac{2}{x^2-1} \Leftrightarrow \)

ii.  \(\cfrac{3}{x+2}-\cfrac{2}{x}=\cfrac{x-4}{x^2+2x} \Leftrightarrow  \)

Λύση

i.  \( \cfrac{1}{x-1}+\cfrac{1}{x+1}=\cfrac{2}{x^2-1} \Leftrightarrow \)

    \(\cfrac{1}{x-1}+\cfrac{1}{x+1}=\cfrac{2}{(x-1)(x+1)}   \)        (1)             

    EKΠ=\( (x-1)(x+1) \)

    Πρέπει     \(   (x-1)(x+1) \neq 0 \Leftrightarrow  \)

                     \( ( x-1\neq 0 \) και  \( x+1\neq 0 ) \Leftrightarrow  \)

                      \( ( x\neq 1\)  και   \( x\neq -1 ) \)     (Π1)

    Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη την (1) με το ΕΚΠ:

    \(ΕΚΠ\cdot\cfrac{1}{x-1}+ΕΚΠ\cdot\cfrac{1}{x+1}=ΕΚΠ\cdot\cfrac{2}{(x-1)(x+1)}  \Leftrightarrow  \)

    \((x-1)(x+1)\cdot\cfrac{1}{x-1}+(x-1)(x+1)\cdot\cfrac{1}{x+1}=(x-1)(x+1)\cdot\cfrac{2}{(x-1)(x+1)}  \Leftrightarrow  \)

    \( (x+1)\cdot 1+(x-1) \cdot 1=2  \Leftrightarrow  \)

    \( (x+1)+(x-1)=2  \Leftrightarrow  \)

    \( 2x=2  \Leftrightarrow  \)

    \( x=1   \) απορρίπτεται λόγω των περιορισμών (Π1).

    Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

ii.  \(\cfrac{3}{x+2}-\cfrac{2}{x}=\cfrac{x-4}{x^2+2x} \Leftrightarrow  \)

      \( \cfrac{3}{x+2}-\cfrac{2}{x}=\cfrac{x-4}{x(x+2)}              (2)        

      EKΠ=\( x(x+2) \)

     Πρέπει     \(  x(x+2) \neq 0 \Leftrightarrow  \)

                     \( x\neq 0 \) και  \( x+2\neq 0 ) \Leftrightarrow  \)

                      \( ( x\neq 0\)  και   \( x\neq -2 ) \)     (Π2)

      Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη την (2) με το ΕΚΠ:

      \( ΕΚΠ\cdot\cfrac{3}{x+2}-ΕΚΠ\cdot\cfrac{2}{x}=ΕΚΠ\cdot\cfrac{x-4}{x(x+2)}    \Leftrightarrow  \)

      \( x(x+2) \cdot\cfrac{3}{x+2}-x(x+2) \cdot\cfrac{2}{x}=x(x+2) \cdot\cfrac{x-4}{x(x+2)}  \Leftrightarrow  \)

      \( x \cdot 3 - (x+2) \cdot 2  = x-4  \Leftrightarrow  \)

      \( 3x   -  2x-4  = x-4  \Leftrightarrow  \)

      \( 3x   -  2x-x  = 4-4  \Leftrightarrow  \)

      \( 0x= 0 \)    ταυτότητα δηλ. η εξίσωση επαληθεύεται για κάθε \( x\epsilon \mathbb{R}-\left \{ -2, 0 \right \} \)

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

Οι εξισώσεις αυτές έχουν ή μπορούν να πάρουν μια από τις επόμενες μορφές :

Περίπτωση Α:  \( \left | f(x) \right |=\alpha  \)

• για \( \alpha > 0 \) δίνει  \(f(x)=\alpha \) ή  \(f(x)=-\alpha \)
• για \( \alpha =0 \) δίνει  \(f(x)=0 \)  \)
• για \( \alpha =0 \)  η εξίσωση είναι αδύνατη

π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : \( \left | 2x-1 \right |=3 \)

Λύση

    \( \left | 2x-1 \right |=3 \Leftrightarrow 2x-1=3 \) ή \(2x-1=-3 \)

                        \(  \Leftrightarrow (2x =4 \) ή \(2x =-2 )\)

                       \(  \Leftrightarrow  (x =2 \) ή \( x =-1) \)

Περίπτωση B:  \( \left | f(x) \right |=\left | g(x) \right | \)

π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : \( \left | x+3 \right |=3\left | x-2 \right | \)
Λύση:
\(  \left | x+3 \right |=3\left | x-2 \right |\Leftrightarrow  \)  \(  \left | x+3 \right |= \left |3 (x-2) \right |\Leftrightarrow \)
                                    \( \Leftrightarrow x+3 = 3 (x-2)    \)      ή   \(  x+3 = -3 (x-2) \Leftrightarrow \)
                                    \( \Leftrightarrow  x+3 = 3x-6    \)        ή    \(  x+3 = -3x+6 \Leftrightarrow \)
                                    \( \Leftrightarrow  x-3x=-6-3    \)     ή   \(   x+3x =6-3 \Leftrightarrow \)
                                    \(  \Leftrightarrow  -2x=-9      \)                  ή   \( 4x =3 \Leftrightarrow \)
                                    \( \Leftrightarrow   x=\cfrac{ 9}{ 2}  \)                         ή   \( x =\cfrac{3}{4} \)

Περίπτωση Γ:  \( \left | f(x) \right |= g(x) \)

Για να μην είναι αδύνατη η εξίσωση, πρέπει \( g(x) \geq 0\).  Τότε η εξίσωση γράφεται 

\( \Leftrightarrow f(x) = g(x)\) ή \(f(x) = -g(x)\)

π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : \( \left | 2x-2 \right |=x-2\)
Λύση

Πρέπει \( x-2\geq 0\Leftrightarrow x\geq 2 \)

Έτσι για \( x\geq 2 \) έχω :

\( \left | 2x-2 \right |=x-2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2x-1=x-2 \Leftrightarrow 2x-x=1-2 \\  ή  \\
2x-1=-(x-2)\Leftrightarrow 2x-1=-x+2
\end{matrix}\right. \)

                          \( \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=-1 \\  ή  \\
2x+x=1+2\Leftrightarrow 3x=3\Leftrightarrow x=1
\end{matrix}\right. \)

Περίπτωση Δ:  \( \left | f(x) \right |= \left | g(x) \right | +h(x) \)

Σε αυτή την περίπτωση:

• βρίσκω τις ρίζες των εξισώσεων \(f(x) = 0\) και \(g(x) =0\),
• φτιάχνω πίνακα προσήμων των παραστάσεων  \(f(x)  \) και \(g(x)  \)
• διακρίνω περιπτώσεις για τα αντίστοιχα διαστήματα

π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : \( \left | x+2 \right |=2\left | x-1 \right |+1\)

Λύση

Για την εξίσωση \( \left | x+2 \right |=2\left | x-1 \right |+1 \)   (1)  θα βρώ τους αριθμούς που μηδενίζουν τα περιεχόμενα των απολύτων:

Έχω : \( x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)  και 

           \( x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

Φτιάχνω πίνακα προσήμων των παραστάσεων  \(x+2 \) και \( x-1 \):

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : 

• Αν \( x\in \left ( -\infty ,-2 \right ) \), η (1) γίνεται:

          \( -(x+2)=-2(x -1)+1\Leftrightarrow -x-2=-2x+2+1 \)

                                                  \(\Leftrightarrow -x+2x=2+2+1\)

                                                  \(\Leftrightarrow x=5 \)  απορρίπτεται διότι \( 5\notin \left ( -\infty ,-2 \right ) \)

• Αν \( x\in \left [ -2,1 \right )\),  η (1) γίνεται :

          \( x+2=-2(x -1)+1\Leftrightarrow x+2=-2x+2+1 \)

                                                  \(\Leftrightarrow x+2x=-2+2+1\)

                                                  \(\Leftrightarrow 3x=1 \)

                                                  \(\Leftrightarrow x=\cfrac{1}{3} \)  δεκτή αφού\( \cfrac{1}{3} \in \left [ -2,1 \right ) \)

• Αν \( x\in \left [1,+\infty \right ) \), η (1) γίνεται :

          \( x+2=2(x -1)+1\Leftrightarrow x+2=2x-2+1 \)

                                                  \(\Leftrightarrow x-2x=-2-2+1\)

                                                  \(\Leftrightarrow -x=-3 \)

                                                  \(\Leftrightarrow x=3 \)  δεκτή  αφού\( 3 \in \left [1,+\infty \right ) \)