Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Ορισμός Τετραγωνικής Ρίζας

Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού  \( \alpha \) συμβολίζεται με \( \sqrt{\alpha} \) και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον \( \alpha \) .

Δηλαδή : \( x=\sqrt{\alpha }\Leftrightarrow x^2=\alpha \) , με  \( \alpha \geqslant 0 \) και \( x \geqslant 0\) .

Η \( \sqrt{\alpha} \), με \( \alpha \geqslant 0 \), παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης  \( x^2=\alpha \).

π.χ.1 \(\sqrt{25}=5 \) διότι για τον μη αρνητικό αριθμό \(5\) ισχύει \( 5^2=25\)

π.χ.2 \(\sqrt{0}=0 \) διότι για τον μη αρνητικό αριθμό \(0\) \( 0^2=0\)

Ιδιότητες Τετραγωνικής Ρίζας

1. Αν \( \alpha \geqslant 0\), τότε : \( \left ( \sqrt{\alpha } \right )^2 = \alpha  \) ή \( \sqrt{\alpha } ^2 = \alpha  \)
2. Αν \( \alpha, \beta \geqslant 0\) , τότε : \( \sqrt{\alpha }\cdot \sqrt{\beta }=\sqrt{\alpha \cdot \beta } \) και \( \cfrac{\sqrt{\alpha }}{\sqrt{\beta }}=\sqrt{\cfrac{\alpha }\beta {}} \)
3. Για κάθε πραγματικό αριθμό \( \alpha\) είναι : \(  \sqrt{\alpha ^2}=|\alpha | \)

Προσοχή :\( \sqrt{\alpha }^2= \alpha \) μόνο για αριθμούς \( \alpha \geqslant 0 \)

Ορισμός ν-οστης Ρίζας

Η ν-οστη ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού \( \alpha\) συμβολίζεται με \( \sqrt[\nu ]{\alpha } \) και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στη \( \nu \), δίνει τον \( \alpha \).

Δηλαδή : \( x=\sqrt{\alpha }\Leftrightarrow x^2=\alpha \) , με  \( \alpha \geqslant 0 \) και \( x \geqslant 0\) .

Η \( \sqrt[\nu ]{\alpha} \), με \( \alpha \geqslant 0 \), παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης  \( x^\nu=\alpha \).

π.χ.1 \(\sqrt[3 ]{27}=3 \) διότι για τον μη αρνητικό αριθμό \(3\) ισχύει \( 3^3=27\)

π.χ.2 \(\sqrt[4 ]{81}=3 \) διότι για τον μη αρνητικό αριθμό \(3\) ισχύει \( 3^4=81\)

Επίσης ισχύουν: 

\(\sqrt[1 ]{\alpha}=\alpha \)  και \(\sqrt[2 ]{\alpha}=\sqrt{\alpha } \)

Ιδιότητες Ριζών

1.  Αν \( \alpha \geqslant 0 \), τότε \( \left (\sqrt[\nu ]{\alpha } \right )^\nu = \sqrt[\nu ]{\alpha }^\nu = \sqrt[\nu ]{\alpha ^\nu }  \)

2.  Αν \( \alpha \leqslant 0 \) και \( \nu \) άρτιος, τότε \( \sqrt[\nu ]{\alpha ^\nu} = |\alpha|\) (προσοχή: πρέπει \( \nu \) άρτιος για να είναι η υπόρριζος ποσότητα  \( \alpha ^\nu  \) αριθμός μή αρνητικός)

3.  Αν \( \alpha, \beta  \geqslant 0 \), τότε \( \sqrt[\nu]{\alpha }\cdot \sqrt[\nu]{\beta }=\sqrt[\nu]{\alpha \cdot \beta } \) και \( \cfrac{\sqrt[\nu]{\alpha }}{\sqrt[\nu]{\beta }}=\sqrt[\nu]{\cfrac{\alpha }\beta {}}, \beta \neq 0 \)

4. Αν \( \alpha \leqslant 0 \), τότε \(  \sqrt[\mu ]{\sqrt[\nu ]{\alpha }}=\sqrt[\nu \mu ]{\alpha } \)   π.χ.  \(  \sqrt[3 ]{\sqrt[4 ]{7 }}=\sqrt[12 ]{7 } \)

5.  Αν \( \alpha \leqslant 0 \), τότε \( \sqrt[\nu \rho ]{\alpha ^{\mu \rho } }=\sqrt[\nu ]{\alpha ^\mu } \)

     π.χ.1  \(\sqrt[12]{16}=\sqrt[12]{2^4}=\sqrt[3\cdot 4]{2^4}=\sqrt[3]{2} \)

     π.χ.2  \(\sqrt[15]{8^5}=\sqrt[3\cdot 5]{8^5}=\sqrt[3]{8} = 2\)

6.  Αν \( \alpha \leqslant 0 \), \( \mu \) θετικός ακέραιος, τότε ορίζουμε \( \alpha ^\frac{\mu }{\nu }=\sqrt[\nu ]{\alpha ^\mu } \)

    π.χ.1  \(\sqrt[3]{x^2}=x^\frac{2}{3}\)

    π.χ.2  \(\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}\)

Προσοχή!

•  Όταν κάτω από τη ρίζα υπάρχει αριθμός που είναι τέλειο τετράγωνο τότε υπολογίζω το αποτέλεσμα εύκολα.
  Π.χ. \( \sqrt{25}=5, \sqrt{36}=6 \) κτλ. 
  Όταν ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο κοιτώ μήπως μπορώ να απλοποιήσω τη ρίζα γράφοντας τον αριθμό σαν γινόμενο δυο αριθμών εκ των οποίων ο ένας να είναι τέλειο τετράγωνο.
  Π.χ. \(  \sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 4}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{2}\cdot 2= 2\sqrt{2} \)
  
  
• Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει μια ρίζα, τότε πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη ρίζα αυτή ώστε να προκύψει κλάσμα που στον παρανομαστή δεν έχει ρίζα.
  π.χ. \(  \cfrac{1}{\sqrt{2}}=\cfrac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}= \cfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} ^2}=\cfrac{\sqrt{2}}{2} \)
  
  
• Όταν έχω κλάσμα που στον παρανομαστή υπάρχει παράσταση της μορφής \( \sqrt{\alpha }\pm \sqrt{\beta }, \sqrt{\alpha }\pm \beta , {\alpha }\pm \sqrt{\beta } \) τότε για να απαλλαγώ από τη ρίζα στον παρανομαστή πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρανομαστή με τη συζυγή παράσταση του παρανομαστή, δηλαδή με την \( \sqrt{\alpha }\mp \sqrt{\beta }, \sqrt{\alpha }\mp \beta , {\alpha }\mp \sqrt{\beta } \) αντίστοιχα.
  π.χ. \(   \cfrac{2}{\sqrt{5}+2}= \cfrac{2\left ( \sqrt{5}-2 \right )}{\left ( \sqrt{5}+2 \right ) \left ( \sqrt{5}-2 \right )}=\cfrac{2\sqrt{5}-4}{\sqrt{5}^2-2^2}=\cfrac{2\sqrt{5}-4}{5-4}=2\sqrt{5}-4  \)
  
  
• Απαραίτητη προϋπόθεση όταν έχουμε ρίζα είναι η υπόριζη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν.
  π.χ.1 η παράσταση \( \sqrt{x-3} \) έχει νόημα μόνο όταν \( x-3> 0\Leftrightarrow x>3 \)
  
  
• Αν \( x,y\geq 0 \) , τότε ισχύει η ισοδυναμία : \( x\leq y\Leftrightarrow \sqrt[\nu ]{x}\leq \sqrt[\nu ]{y} \)

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. (Άσκηση 1 σελ. 74 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να υπολογίσετε τις ρίζες:

 i) \( \sqrt{100}, \sqrt[3]{1000}, \sqrt[4]{10000}, \sqrt[5]{100000}  \)
ii) \(\sqrt{4}, \sqrt[3]{8}, \sqrt[4]{16}, \sqrt[5]{32}  \)
iii) \( \sqrt{0,01}, \sqrt[3]{0,001}, \sqrt[4]{0,0001}, \sqrt[5]{0,00001}  \)

Λύση

 i) \( \sqrt{100}=\sqrt{10^2}=10, \sqrt[3]{1000}= \sqrt[3]{10^3}=10, \sqrt[4]{10000}=\sqrt[4]{10^4}=10,\sqrt[5]{100000}=\sqrt[5]{10^5}=10  \)

ii) \(\sqrt{4}=\sqrt{2^2}=2, \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2, \sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2, \sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2  \)

iii) \( \sqrt{0,01}=\sqrt{\cfrac{1}{100}}=\cfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}}=\cfrac{1}{10} \),

     \(\sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{\cfrac{1}{1000}}=\cfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1000}}=\cfrac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{10^3}}=\cfrac{1}{10} \),

     \( \sqrt[4]{0,0001}=\sqrt[4]{\cfrac{1}{10000}}=\cfrac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{10000}}=\cfrac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{10^4}}=\cfrac{1}{10} \),

     \( \sqrt[5]{0,00001}=\sqrt[5]{\cfrac{1}{100000}}=\cfrac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{100000}}=\cfrac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{10^5}}=\cfrac{1}{10}  \)

2. (Άσκηση 2 σελ. 74 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς τις ρίζες:

i.    \( \sqrt{\left ( \pi -4 \right )^2} \)

ii.   \(\sqrt{\left ( -20 \right )^2}\)

iii.  \( \sqrt{\left ( x-1 \right )^2} \)

iv.   \(\sqrt{\cfrac{x^2}{4}} \)

Λύση

i.    \( \sqrt{\left ( \pi -4 \right )^2} = |\pi -4|\overset{\pi -4 <0}{=}  \) \( -(\pi -4) = -\pi +4 \)

i.   \(\sqrt{\left ( -20 \right )^2} = |-20|=20\)

iii.  \( \sqrt{\left ( x-1 \right )^2} = |x -1|= \left\{\begin{matrix}
x-1,\alpha \nu & x-1>0\\
-\left ( x-1 \right ), \alpha \nu& x-1<0
\end{matrix}\right.      = \left\{\begin{matrix}
x-1,\alpha \nu & x>1\\
- x+1 , \alpha \nu& x<1
\end{matrix}\right.\)

iv.   \(\sqrt{\cfrac{x^2}{4}} = \cfrac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{4}}=\cfrac{\left | x \right |}{2}\)

3. (Άσκηση 3 σελ. 74 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να δείξετε ότι:  \( \sqrt{\left ( 2-\sqrt{5} \right )^2}+ \sqrt{\left ( 3-\sqrt{5} \right )^2}=1 \)

Λύση

\( \sqrt{\left ( 2-\sqrt{5} \right )^2}+ \sqrt{\left ( 3-\sqrt{5} \right )^2}= \left | 2-\sqrt{5} \right |+\left | 3-\sqrt{5} \right |= \)
\( \overset{2-\sqrt{5}< 0 , 3-\sqrt{5}> 0}{=} -\left ( 2-\sqrt{5} \right )+3-\sqrt{5} = - 2+\sqrt{5} +3-\sqrt{5}=1\)

4. (Άσκηση 4 σελ. 74 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να δείξετε ότι: \(\left ( \sqrt{x-5}-\sqrt{x+3} \right )\left ( \sqrt{x-5}+\sqrt{x+3} \right )=-8 \)

Λύση

Πρώτα πρέπει να πάρω περιορισμούς:

 \(   \left\{\begin{matrix} x-5\geqslant 0\\ και \\ x+3\geqslant 0 \end{matrix}\right. \) \(  \Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}   x\geqslant 5\\ και \\  x\geqslant -3  \end{matrix}\right. \)    Άρα πρέπει  \(x\geqslant 5 \).

Για \(x\geqslant 5 \) ισχύει: 

\(\left ( \sqrt{x-5}-\sqrt{x+3} \right )\left ( \sqrt{x-5}+\sqrt{x+3} \right ) \overset{\left ( \alpha -\beta \right )\left ( \alpha +\beta \right )=\alpha ^2-\beta ^2}{=} \)

\(= \left ( \sqrt{x-5} \right ) ^2- \left ( \sqrt{x+3} \right ) ^2=x-5-\left ( x+3 \right )=x-5-x-3=-8 \)

5. (Άσκηση 5 σελ. 74 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
i. Να δείξετε ότι: \(\left ( \sqrt{8}-\sqrt{18} \right )\left ( \sqrt{50}+\sqrt{72}-\sqrt{32} \right )=-14 \)

Λύση

\(\left ( \sqrt{8}-\sqrt{18} \right )\left ( \sqrt{50}+\sqrt{72}-\sqrt{32} \right )= \)

\(\left ( \sqrt{4\cdot2}-\sqrt{9\cdot2} \right )\left ( \sqrt{25\cdot2}+\sqrt{36\cdot2}-\sqrt{16\cdot2} \right )= \)

\(\left ( \sqrt{4}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{9}\cdot\sqrt{2} \right )\left ( \sqrt{25}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{36}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{16}\cdot\sqrt{2} \right )= \)

\(\left ( 2\cdot \sqrt{2}-3\cdot\sqrt{2} \right )\left ( 5\cdot\sqrt{2}+6\cdot\sqrt{2}-4\cdot\sqrt{2} \right )= \)

\(\left (- \sqrt{2} \right )\left ( 7\sqrt{2} \right )= \) \(\left (- 7\sqrt{2}^2 \right )= \) \(\left (- 7\cdot 2 \right )= -14\)

6. (Άσκηση 6 σελ. 74 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
ii.  Να δείξετε ότι: \( \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3+\sqrt{5}}\cdot \sqrt[3]{3-\sqrt{5}}=2 \)

Λύση

\( \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3+\sqrt{5}}\cdot \sqrt[3]{3-\sqrt{5}}= \)

\( \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{\left ( 3+\sqrt{5}\right )\cdot\left ( 3-\sqrt{5} \right ) }= \)

\( \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{3^2-\sqrt{5}^2 }=  \) \( \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{9-5 }=  \) \( \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{4 }= \)

\( \sqrt[3]{2 \cdot 4}= \)  \( \sqrt[3]{8}=2 \) 

7. (Άσκηση 7 σελ. 74 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
ii. Να δείξετε ότι : \( \sqrt[5]{2\sqrt{2\sqrt[3]{2}}}=\sqrt[3]{2} \)

Λύση

\( \sqrt[5]{2\sqrt{2\sqrt[3]{2}}}= \sqrt[5]{2\sqrt{\sqrt[3]{2\cdot 2^3}}}=\sqrt[5]{2\sqrt{\sqrt[3]{2^4}}} = \)
\( \sqrt[5]{2\sqrt[2\cdot 3]{2^4}}= \sqrt[5]{2\sqrt[6]{2^4}}= \sqrt[5]{\sqrt[6]{2^4\cdot 2^6}}= \)
\(\sqrt[5]{\sqrt[6]{2^{4+6}}}= \sqrt[5]{\sqrt[6]{2^{10}}}= \sqrt[5\cdot 6]{2^{10}}= \sqrt[30]{2^{10}}= \sqrt[3\cdot 10]{2^{1\cdot 10}}= \sqrt[3]{2} \)

8. (Άσκηση 8 σελ. 74 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
ii. Να δείξετε ότι :  \( \sqrt[9]{2^8}\cdot \sqrt[6]{2^5}=2\cdot \sqrt[18]{2^{13}}  \)

Λύση

\( \sqrt[9]{2^8}\cdot \sqrt[6]{2^5}=2^\cfrac{8}{9}\cdot 2^\cfrac{5}{6}=2^{\cfrac{8}{9}+\cfrac{5}{6}}=2^{\cfrac{16}{18}+\cfrac{15}{18}}=2^{\cfrac{31}{18}}= \)

\( =2^{\cfrac{18}{18}+\cfrac{13}{18}}=2^{1+\cfrac{13}{18}}=2\cdot 2^{\cfrac{13}{18}}=2\cdot \sqrt[18]{2^{13}}\)

9. (Άσκηση 10 σελ. 75 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
iii. Να μετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναμες με ρητούς παρανομαστές : \( \cfrac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}} \)

Λύση

\( \cfrac{\sqrt{7}+\sqrt{6}}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\cfrac{\left ( \sqrt{7}+\sqrt{6} \right )\left ( \sqrt{7}+\sqrt{6} \right )}{\left ( \sqrt{7}-\sqrt{6} \right )\left ( \sqrt{7}+\sqrt{6} \right )}=\)

\(=\cfrac{\left ( \sqrt{7}+\sqrt{6} \right )^2}{\left ( \sqrt{7}^2-\sqrt{6}^2 \right )}=\cfrac{\left ( \sqrt{7}+\sqrt{6} \right )^2}{ 7-6 }=\)

\(=\left ( \sqrt{7}+\sqrt{6} \right )^2=\sqrt{7}^2+2\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{6} +\sqrt{6}^2 = \) 

\( =7+2\cdot \sqrt{7}\cdot \sqrt{6} +6=13+2\cdot \sqrt{42} \)