Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Ορισμός: Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού \(   \alpha  \) ονομάζουμε την απόσταση της εικόνας του αριθμού πάνω στον άξονα από την αρχή Ο και τη συμβολίζουμε με \( \left | \alpha \right | \).

Είναι: \(  |a| = \begin{cases} a, & -a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases} \)

Γενικά ισχύει ότι:

1.    |α| = |−α| ≥ 0

2.    |α| ≥ α και |α| ≥ − α

3.    |α|\(^2\) = α\(^2\)

4.    Αν θ > 0, τότε: |x| = θ ⇔ x = θ ή x = − θ

        π.χ.1^ο       |x| = 5 ⇔ x = 5 ή x = − 5

        π.χ.2^ο        |2x-1| = 3 ⇔ 2x-1 = 3 ή 2x-1 = − 3

                                              ⇔ 2x =1+3  ή 2x =1-3

                                              ⇔ 2x =4      ή 2x =-2

                                              ⇔ \( \cfrac {2x}{2} = \cfrac 42 \)  ή  \( \cfrac {2x}{2} = \cfrac {-2}{2} \)

                                              ⇔ x =2          ή  x =-1

5.    Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: |x| = |α| ⇔ (x = α ή x = − α )

       π.χ.1^ο        |x| = |5| ⇔ x = 5 ή x = − 5

       π.χ.2^ο        |2x-1| = |3x-2| ⇔ 2x-1 = 3x-2 ή 2x-1 = − (3x-2)

                     ⇔ 2x -3x =1-2   ή     2x -1= -3x+2

                     ⇔ -x =-1             ή    2x+3x =1+2

                     ⇔ x =1               ή            5x =3

                     ⇔ x =1               ή           \( \cfrac {5x}{5} = \cfrac 35 \)

                     ⇔ x =1               ή                  x= \(  \cfrac 35 \)

Ιδιότητες των απόλυτων τιμών

1. |α∙β| = |α|∙|β|

    π.χ. |x²-4| = |x²-2²| = |(x-2)(x+2)| = |x-2|∙|x+2|

Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για περισσότερους παράγοντες. Συγκεκριμένα:
\( |α_1 \cdot α_2 \cdot … \cdot α_ν| = |α_1| \cdot |α_2| \cdot … \cdot |α_ν| \).
Στην ειδική περίπτωση που είναι: \( α_1 = α_2 = … = α_ν = α\), έχουμε: \(|α^ν| = |α|^ν \)

2. \( \left | \cfrac αβ \right | = \cfrac {|α|} {|β|} \)

       π.χ. \(  \left |  \cfrac {x^2-4}{x+2}  \right | = \)

              = \( \left | \cfrac {(x-2) \cdot (x+2)}{ x+2 } \right | =  \)

              = \( \cfrac {|x-2|\cdot |x+2|}{|x+2|}  = \)

              = \(|x-2|\)

3. |α ± β| ≤ |α| + |β|

• Η ισότητα |α ± β| = |α| + |β|ισχύει αν και μόνο αν  αβ ≥ 0,
  δηλαδή αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι ή ένας τουλάχιστον από αυτούς να είναι ίσος με μηδέν.
• Η ανισοϊσότητα |α + β| ≤ |α| + |β| ισχύει και για περισσότερους προσθετέους:
   \(|α_1 + α_2 + … + α_ν| ≤ | α_1| + |α_2| + … + |α_ν|\).

Απόσταση δύο αριθμών

Ορισμός:

Αν πάρουμε δύο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως, τότε το μήκος του ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών α και β, συμβολίζεται 
d(α, β) ή με d(β, α) και είναι ίση με |α − β|.

Δηλαδή: d(α, β) = |α − β|.

Προφανώς ισχύει d (α, β) = d (β, α) .

π.χ.1   \( d(5,3)=|5-3|=2 \)

π.χ.2   \( d(5,9)=|5-9|=|-4|=4 \)

π.χ.3   \( d(-4,2)=|-4-2|=|-6|=6 \)

π.χ.4   \( d(x,3)=|x-3| \)

π.χ.5   \( d(x,3)=5 ⇔  |x-3|=5 \)

                              ⇔  x-3 =5  ή  x-3 = -5

                              ⇔  x  =3+5  ή  x  =  3 -5

                              ⇔  x  =8      ή  x  =  -2

Στην περίπτωση που είναι α < β, τότε η απόσταση των α και β είναι ίση με  β – α  και λέγεται μήκος του διαστήματος  [α, β].

Γενικά για το [α, β] έχουμε:

Μήκος διαστήματος: β – α
Κέντρο διαστήματος: \( \cfrac {α + β} {2} \)
Ακτίνα διαστήματος:  \( \cfrac {β - α} {2} \)

Ως μήκος, κέντρο και ακτίνα των διαστημάτων  (α, β), [α, β) και (α, β] ορίζουμε το μήκος, το κέντρο και την ακτίνα του διαστήματος [α, β].

Για \( x_0∈\mathbf{R} \)  και ρ > 0, ισχύει:

\( |x–x_0|<ρ ⇔ x∈(x_0 – ρ, x_0 + ρ)  
⇔ x_0 – ρ < x < x_0 + ρ \)

\( |x–x_0|> ρ ⇔ x∈(− ∞ , x_0 – ρ) ∪(x_0 + ρ, +∞ )
⇔ x < x_0 – ρ\)  ή \(x > x_0 + ρ \)

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. (Άσκηση 1/ Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου σελ. 66)
Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές.
i. \(|π-3|\)
ii. \(|π-4| \)
iii. \(|3-π|+|4-π| \)
iv. \(| \sqrt{2} -\sqrt{3}|-| \sqrt{3} -\sqrt{2}| \)

Λύση :

Γνωρίζουμε ότι \( π \approx 3,14   \) οπότε έχουμε:

i. \( π-3 > 0\) , άρα \(|π-3|=π-3\)

ii. \( π-4 < 0\) , άρα \(|π-4|=4-π\)

iii. \(|3-π|+|4-π|= (π-3)+ (4-π) =π-3+4-π=1\)

iv. Είναι \( \sqrt{2} -\sqrt{3} < 0 \) και \( \sqrt{3} -\sqrt{2} > 0 \) οπότε

   \(| \sqrt{2} -\sqrt{3}|-| \sqrt{3} -\sqrt{2}|= \)

   \( -( \sqrt{2} -\sqrt{3}) -( \sqrt{3} -\sqrt{2})= \)

   \( - \sqrt{2} + \sqrt{3}  -  \sqrt{3} +\sqrt{2} = \)

   \(=0\)

2. (Άσκηση 2 σελ. 66 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Αν 3 <x < 4 να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση : |x -3| +|x - 4|

Λύση :

Επειδή 3 <x < 4, τότε : x -3 > 0 και x- 4 < 0

Οπότε : |x -3|+|x - 4| = (x -3) - (x - 4) = x-3-x+4 = 1

3. (Άσκηση 3 σελ. 66 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση : |x -3| -|x - 4| όταν :
i. x < 3
ii. x > 4

Λύση :

i.  Αν x < 3 τότε επίσης  x < 4  οπότε είναι  \( \left\{ \begin{matrix}
x-3<0& & \\  x-4<0& & \end{matrix}\right. \) οπότε

\( |x -3| -|x - 4|= -(x-3)+(x-4) = -x+3+x-4 = -1 \)

ii.  Αν x > 4 τότε επίσης x > 3 οπότε είναι  \( \left\{ \begin{matrix}
x-3>0& & \\  x-4>0& & \end{matrix}\right. \) οπότε

\( |x -3| -|x - 4|= (x-3)-(x-4) = x-3-x+4 = 1 \)

4. (Άσκηση 4 σελ. 67 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Αν \(α \neq β\) , να βρείτε την τιμή της παράστασης \( \left | \cfrac{\alpha -\beta }{\beta -\alpha } \right | \)

Λύση :
\( \left | \cfrac{\alpha -\beta }{\beta -\alpha } \right | \)  = \(  \cfrac{\left |\alpha -\beta  \right |}{\left | \beta -\alpha  \right |}  \) = \(  \cfrac{\left |\alpha -\beta  \right |}{\left | -(\alpha -\beta ) \right |}  \) = \(  \cfrac{\left |\alpha -\beta  \right |}{\left | \alpha -\beta  \right |}  \) = 1

5. (Άσκηση 2 σελ. 67- Β΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Αν α>β να δείξετε ότι
i.  \( \alpha =\cfrac{\alpha +\beta +|\alpha -\beta |}{2} \)
ii. \( \beta =\cfrac{\alpha +\beta -|\alpha -\beta |}{2} \)

Λύση :

i. Είναι \( \alpha > \beta \Leftrightarrow \alpha - \beta > 0 \)
οπότε :

\( \cfrac{\alpha +\beta +|\alpha -\beta |}{2} \) =  \( \cfrac{\alpha +\beta + \alpha -\beta }{2} \) = \( \cfrac{2\alpha }{2} \) = \(  \alpha   \)

ii. Είναι \( \alpha > \beta \Leftrightarrow \alpha - \beta > 0 \)
οπότε :

\( \cfrac{\alpha +\beta -|\alpha -\beta |}{2} \) =  \( \cfrac{\alpha +\beta - (\alpha -\beta) }{2} \) =  \( \cfrac{\alpha +\beta - \alpha +\beta  }{2} \) = \( \cfrac{2\beta}{2} \) = \(  \beta  \)