Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ
Κωδικός : G217121
-
Θεματικές Ενότητες
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\)
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α4. Ταυτότητες
-
Α4. Ταυτότητες - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A5. Παραγοντοποίηση
-
A5. Παραγοντοποίηση - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις)
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α11. Εξισώσεις 2ου βαθμού: \(\alpha x^2+\beta x+\gamma =0\) όπου \(\alpha \neq 0\)
-
Α12. Εξισώσεις που ανάγονται σε 2ου βαθμού
-
Α13. Παραμετρικές Εξισώσεις 2ου βαθμού
-
Α11-12-13. Εξισώσεις 2ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α14. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (βασική μορφή)
-
Α15. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (παραμετρικές)
-
Α16. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές
-
Α17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές (σύνθετες)
-
Α14-15-16-17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α18. Παραγοντοποίηση τριωνύμου
-
Α19. Πρόσημο τριωνύμου
-
Α20. Ανισώσεις \( 2^{ου} \) βαθμού (μορφές \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma >0 \) ή \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma <0, \alpha \neq 0 \) )
-
A21. Ανισώσεις "γινόμενο" και ανισώσεις "πηλίκο"
-
A18-19-20-21. Ανισώσεις \( 2^{ου}\) Βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
Ορισμός: Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού \( \alpha \) ονομάζουμε την απόσταση της εικόνας του αριθμού πάνω στον άξονα από την αρχή Ο και τη συμβολίζουμε με \( \left | \alpha \right | \).
Είναι: \( |a| = \begin{cases} a, & -a \ge 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases} \)
Γενικά ισχύει ότι:
1. |α| = |−α| ≥ 0
2. |α| ≥ α και |α| ≥ − α
3. |α|\(^2\) = α\(^2\)
4. Αν θ > 0, τότε: |x| = θ ⇔ x = θ ή x = − θ
π.χ.1ο |x| = 5 ⇔ x = 5 ή x = − 5
π.χ.2ο |2x-1| = 3 ⇔ 2x-1 = 3 ή 2x-1 = − 3
⇔ 2x =1+3 ή 2x =1-3
⇔ 2x =4 ή 2x =-2
⇔ \( \cfrac {2x}{2} = \cfrac 42 \) ή \( \cfrac {2x}{2} = \cfrac {-2}{2} \)
⇔ x =2 ή x =-1
5. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει: |x| = |α| ⇔ (x = α ή x = − α )
π.χ.1ο |x| = |5| ⇔ x = 5 ή x = − 5
π.χ.2ο |2x-1| = |3x-2| ⇔ 2x-1 = 3x-2 ή 2x-1 = − (3x-2)
⇔ 2x -3x =1-2 ή 2x -1= -3x+2
⇔ -x =-1 ή 2x+3x =1+2
⇔ x =1 ή 5x =3
⇔ x =1 ή \( \cfrac {5x}{5} = \cfrac 35 \)
⇔ x =1 ή x= \( \cfrac 35 \)
Ιδιότητες των απόλυτων τιμών
1. |α∙β| = |α|∙|β|
π.χ. |x2-4| = |x2-22| = |(x-2)(x+2)| = |x-2|∙|x+2|
Η ιδιότητα αυτή ισχύει και για περισσότερους παράγοντες. Συγκεκριμένα:
\( |α_1 \cdot α_2 \cdot … \cdot α_ν| = |α_1| \cdot |α_2| \cdot … \cdot |α_ν| \).
Στην ειδική περίπτωση που είναι: \( α_1 = α_2 = … = α_ν = α\), έχουμε: \(|α^ν| = |α|^ν \)
2. \( \left | \cfrac αβ \right | = \cfrac {|α|} {|β|} \)
π.χ. \( \left | \cfrac {x^2-4}{x+2} \right | = \)
= \( \left | \cfrac {(x-2) \cdot (x+2)}{ x+2 } \right | = \)
= \( \cfrac {|x-2|\cdot |x+2|}{|x+2|} = \)
= \(|x-2|\)
3. |α ± β| ≤ |α| + |β|
- Η ισότητα |α ± β| = |α| + |β|ισχύει αν και μόνο αν αβ ≥ 0,
δηλαδή αν οι αριθμοί α και β είναι ομόσημοι ή ένας τουλάχιστον από αυτούς να είναι ίσος με μηδέν. - Η ανισοϊσότητα |α + β| ≤ |α| + |β| ισχύει και για περισσότερους προσθετέους:
\(|α_1 + α_2 + … + α_ν| ≤ | α_1| + |α_2| + … + |α_ν|\).
Απόσταση δύο αριθμών
Ορισμός:
Αν πάρουμε δύο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντιστοίχως, τότε το μήκος του ΑΒ λέγεται απόσταση των αριθμών α και β, συμβολίζεται
d(α, β) ή με d(β, α) και είναι ίση με |α − β|.
Δηλαδή: d(α, β) = |α − β|.
Προφανώς ισχύει d (α, β) = d (β, α) .
π.χ.1 \( d(5,3)=|5-3|=2 \)
π.χ.2 \( d(5,9)=|5-9|=|-4|=4 \)
π.χ.3 \( d(-4,2)=|-4-2|=|-6|=6 \)
π.χ.4 \( d(x,3)=|x-3| \)
π.χ.5 \( d(x,3)=5 ⇔ |x-3|=5 \)
⇔ x-3 =5 ή x-3 = -5
⇔ x =3+5 ή x = 3 -5
⇔ x =8 ή x = -2
Στην περίπτωση που είναι α < β, τότε η απόσταση των α και β είναι ίση με β – α και λέγεται μήκος του διαστήματος [α, β].
Γενικά για το [α, β] έχουμε:
Μήκος διαστήματος: β – α
Κέντρο διαστήματος: \( \cfrac {α + β} {2} \)
Ακτίνα διαστήματος: \( \cfrac {β - α} {2} \)
Ως μήκος, κέντρο και ακτίνα των διαστημάτων (α, β), [α, β) και (α, β] ορίζουμε το μήκος, το κέντρο και την ακτίνα του διαστήματος [α, β].
Για \( x_0∈\mathbf{R} \) και ρ > 0, ισχύει:
\( |x–x_0|<ρ ⇔ x∈(x_0 – ρ, x_0 + ρ)
⇔ x_0 – ρ < x < x_0 + ρ \)
\( |x–x_0|> ρ ⇔ x∈(− ∞ , x_0 – ρ) ∪(x_0 + ρ, +∞ )
⇔ x < x_0 – ρ\) ή \(x > x_0 + ρ \)
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. (Άσκηση 1/ Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου σελ. 66)
Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιμές.
i. \(|π-3|\)
ii. \(|π-4| \)
iii. \(|3-π|+|4-π| \)
iv. \(| \sqrt{2} -\sqrt{3}|-| \sqrt{3} -\sqrt{2}| \)
Λύση :
Γνωρίζουμε ότι \( π \approx 3,14 \) οπότε έχουμε:
i. \( π-3 > 0\) , άρα \(|π-3|=π-3\)
ii. \( π-4 < 0\) , άρα \(|π-4|=4-π\)
iii. \(|3-π|+|4-π|= (π-3)+ (4-π) =π-3+4-π=1\)
iv. Είναι \( \sqrt{2} -\sqrt{3} < 0 \) και \( \sqrt{3} -\sqrt{2} > 0 \) οπότε
\(| \sqrt{2} -\sqrt{3}|-| \sqrt{3} -\sqrt{2}|= \)
\( -( \sqrt{2} -\sqrt{3}) -( \sqrt{3} -\sqrt{2})= \)
\( - \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{3} +\sqrt{2} = \)
\(=0\)
2. (Άσκηση 2 σελ. 66 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Αν 3 <x < 4 να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση : |x -3| +|x - 4|
Λύση :
Επειδή 3 <x < 4, τότε : x -3 > 0 και x- 4 < 0
Οπότε : |x -3|+|x - 4| = (x -3) - (x - 4) = x-3-x+4 = 1
3. (Άσκηση 3 σελ. 66 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Να γράψετε χωρίς απόλυτες τιμές την παράσταση : |x -3| -|x - 4| όταν :
i. x < 3
ii. x > 4
Λύση :
i. Αν x < 3 τότε επίσης x < 4 οπότε είναι \( \left\{ \begin{matrix}
x-3<0& & \\ x-4<0& & \end{matrix}\right. \) οπότε
\( |x -3| -|x - 4|= -(x-3)+(x-4) = -x+3+x-4 = -1 \)
ii. Αν x > 4 τότε επίσης x > 3 οπότε είναι \( \left\{ \begin{matrix}
x-3>0& & \\ x-4>0& & \end{matrix}\right. \) οπότε
\( |x -3| -|x - 4|= (x-3)-(x-4) = x-3-x+4 = 1 \)
4. (Άσκηση 4 σελ. 67 Α΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Αν \(α \neq β\) , να βρείτε την τιμή της παράστασης \( \left | \cfrac{\alpha -\beta }{\beta -\alpha } \right | \)
Λύση :
\( \left | \cfrac{\alpha -\beta }{\beta -\alpha } \right | \) = \( \cfrac{\left |\alpha -\beta \right |}{\left | \beta -\alpha \right |} \) = \( \cfrac{\left |\alpha -\beta \right |}{\left | -(\alpha -\beta ) \right |} \) = \( \cfrac{\left |\alpha -\beta \right |}{\left | \alpha -\beta \right |} \) = 1
5. (Άσκηση 2 σελ. 67- Β΄ ομάδας σχολικού βιβλίου)
Αν α>β να δείξετε ότι
i. \( \alpha =\cfrac{\alpha +\beta +|\alpha -\beta |}{2} \)
ii. \( \beta =\cfrac{\alpha +\beta -|\alpha -\beta |}{2} \)
Λύση :
i. Είναι \( \alpha > \beta \Leftrightarrow \alpha - \beta > 0 \)
οπότε :
\( \cfrac{\alpha +\beta +|\alpha -\beta |}{2} \) = \( \cfrac{\alpha +\beta + \alpha -\beta }{2} \) = \( \cfrac{2\alpha }{2} \) = \( \alpha \)
ii. Είναι \( \alpha > \beta \Leftrightarrow \alpha - \beta > 0 \)
οπότε :
\( \cfrac{\alpha +\beta -|\alpha -\beta |}{2} \) = \( \cfrac{\alpha +\beta - (\alpha -\beta) }{2} \) = \( \cfrac{\alpha +\beta - \alpha +\beta }{2} \) = \( \cfrac{2\beta}{2} \) = \( \beta \)