Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Παραγοντοποίηση είναι η διαδικασία µε την οποία µία παράσταση που είναι άθροισµα µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων.

Η παραγοντοποίηση είναι χρήσιµη σε

• Απλοποιήσεις παραστάσεων,
• Εύρεση Ε.Κ.Π και Μ.Κ.∆,
• Λύση εξισώσεων κ.α.

Η παραγοντοποίηση μιας παράστασης γίνεται συνήθως με τους επόμενους τρόπους:

Μέθοδος 1η:  Με κοινό παράγοντα

π.χ.1    \( 3x^2 - 6xy = 3x(x - 2y) \)

π.χ.2    \( -2x^4y + 4x^3y2 - 6x^2y = -2x^2y(x^2 - 2xy + 3) \)

Αν ο κοινός παράγοντας έχει πρόσημο πλην \( (-) \), τότε τα πρόσημα όλων των όρων της παρένθεσης αλλάζουν.

Μέθοδος 2η:  Με ομαδοποίηση και κοινούς παράγοντες

π.χ.3    \( αx - αy - 2βx + 2βy = α(x - y) - 2β(x - y) = (x - y)(α - 2β) \)

π.χ.4    \( (α^2 - 2αβ)(x - 1) + β^2x - β^2 = (α^2 - 2αβ)(x - 1) + β^2(x - 1)   \)  \(  = (x - 1)(α^2 - 2αβ + β^2) = (x - 1)(α - β)^2 \)

Μέθοδος 3η:  Με χρήση ταυτοτήτων

α) Λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων:  \( α^2 - β^2 = (α - β)(α + β) \) παίρνουμε:

π.χ.5    \( x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) \)

π.χ.6    \( (α^2 + β^2)^2 - 4α^2β^2 = (α^2 + β^2 - 2αβ)(α^2 + β^2 + 2αβ) = (α - β)^2(α + β)^2 \)

β) Λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα της διαφοράς κύβων:   \( \alpha ^3 - \beta ^3 = ( \alpha - \beta )( \alpha ^2 + \alpha  \beta + \beta ^2 )  \) έχουμε:

π.χ.7    \( x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \)

π.χ.8    \( 27x^3 - y^3 = (3x)^3 - y^3 = (3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2) \)

γ) Λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα του αθροίσματος κύβων: \( \alpha ^3 + \beta ^3 = ( \alpha  + \beta) ( \alpha ^2 - \alpha \beta + \beta ^2) \) προκύπτει:

π.χ.9      \( 8x^3 + y^6 = (2x)^3 + (y2)^3 = (2x + y^2)(4x^2 - 2xy^2 + y^4) \)

π.χ.10    \( x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2) \)

δ) Λαμβάνοντας υπόψη τις ταυτότητες του τέλειου τετραγώνου:   \( α^2 \pm 2αβ + β^2 = (α \pm β)^2 \)  και του τέλειου κύβου:   \( α^3 \pm 3α^2β + 3αβ^2 \pm β^3 = (α \pm β)^3 \) έχουμε:

π.χ.11    \( x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \)

π.χ.12    \( x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2 \)

π.χ.13    \( 25x^4 + 10x^2 + 1 = (5x^2)^2 + 2 \cdot 5x^2 + 1 = (5x^2 + 1)^2 \)

π.χ.14    \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3 \)

Μέθοδος 4η:  Με διάσπαση ή προσθαφαίρεση όρου-όρων

π.χ.15     \( x^4 + y^4 =\) 

                \(=x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - 2x^2y^2 = \)

                \(=(x^2 + y^2)^2-2x^2y^2 =\)

                \(= (x^2 + y^2)^2- (\sqrt{2}xy)^2 =\)

                \(=(x^2 + y^2-\sqrt{2}xy)(x^2 + y^2+\sqrt{2}xy) \)

Μέθοδος 5η. Συνδυασµός των παραπάνω μεθόδων.