Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ
Κωδικός : G217121
-
Θεματικές Ενότητες
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\)
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α4. Ταυτότητες
-
Α4. Ταυτότητες - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A5. Παραγοντοποίηση
-
A5. Παραγοντοποίηση - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις)
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α11. Εξισώσεις 2ου βαθμού: \(\alpha x^2+\beta x+\gamma =0\) όπου \(\alpha \neq 0\)
-
Α12. Εξισώσεις που ανάγονται σε 2ου βαθμού
-
Α13. Παραμετρικές Εξισώσεις 2ου βαθμού
-
Α11-12-13. Εξισώσεις 2ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α14. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (βασική μορφή)
-
Α15. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (παραμετρικές)
-
Α16. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές
-
Α17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές (σύνθετες)
-
Α14-15-16-17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α18. Παραγοντοποίηση τριωνύμου
-
Α19. Πρόσημο τριωνύμου
-
Α20. Ανισώσεις \( 2^{ου} \) βαθμού (μορφές \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma >0 \) ή \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma <0, \alpha \neq 0 \) )
-
A21. Ανισώσεις "γινόμενο" και ανισώσεις "πηλίκο"
-
A18-19-20-21. Ανισώσεις \( 2^{ου}\) Βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
A5. Παραγοντοποίηση
Παραγοντοποίηση είναι η διαδικασία µε την οποία µία παράσταση που είναι άθροισµα µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων.
Η παραγοντοποίηση είναι χρήσιµη σε
- Απλοποιήσεις παραστάσεων,
- Εύρεση Ε.Κ.Π και Μ.Κ.∆,
- Λύση εξισώσεων κ.α.
Η παραγοντοποίηση μιας παράστασης γίνεται συνήθως με τους επόμενους τρόπους:
Μέθοδος 1η: Με κοινό παράγοντα
π.χ.1 \( 3x^2 - 6xy = 3x(x - 2y) \)
π.χ.2 \( -2x^4y + 4x^3y2 - 6x^2y = -2x^2y(x^2 - 2xy + 3) \)
Αν ο κοινός παράγοντας έχει πρόσημο πλην \( (-) \), τότε τα πρόσημα όλων των όρων της παρένθεσης αλλάζουν.
Μέθοδος 2η: Με ομαδοποίηση και κοινούς παράγοντες
π.χ.3 \( αx - αy - 2βx + 2βy = α(x - y) - 2β(x - y) = (x - y)(α - 2β) \)
π.χ.4 \( (α^2 - 2αβ)(x - 1) + β^2x - β^2 = (α^2 - 2αβ)(x - 1) + β^2(x - 1) \) \( = (x - 1)(α^2 - 2αβ + β^2) = (x - 1)(α - β)^2 \)
Μέθοδος 3η: Με χρήση ταυτοτήτων
α) Λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα της διαφοράς τετραγώνων: \( α^2 - β^2 = (α - β)(α + β) \) παίρνουμε:
π.χ.5 \( x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x - y)(x + y)(x^2 + y^2) \)
π.χ.6 \( (α^2 + β^2)^2 - 4α^2β^2 = (α^2 + β^2 - 2αβ)(α^2 + β^2 + 2αβ) = (α - β)^2(α + β)^2 \)
β) Λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα της διαφοράς κύβων: \( \alpha ^3 - \beta ^3 = ( \alpha - \beta )( \alpha ^2 + \alpha \beta + \beta ^2 ) \) έχουμε:
π.χ.7 \( x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \)
π.χ.8 \( 27x^3 - y^3 = (3x)^3 - y^3 = (3x - y)(9x^2 + 3xy + y^2) \)
γ) Λαμβάνοντας υπόψη την ταυτότητα του αθροίσματος κύβων: \( \alpha ^3 + \beta ^3 = ( \alpha + \beta) ( \alpha ^2 - \alpha \beta + \beta ^2) \) προκύπτει:
π.χ.9 \( 8x^3 + y^6 = (2x)^3 + (y2)^3 = (2x + y^2)(4x^2 - 2xy^2 + y^4) \)
π.χ.10 \( x^6 - y^6 = (x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2) \)
δ) Λαμβάνοντας υπόψη τις ταυτότητες του τέλειου τετραγώνου: \( α^2 \pm 2αβ + β^2 = (α \pm β)^2 \) και του τέλειου κύβου: \( α^3 \pm 3α^2β + 3αβ^2 \pm β^3 = (α \pm β)^3 \) έχουμε:
π.χ.11 \( x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \)
π.χ.12 \( x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2 \)
π.χ.13 \( 25x^4 + 10x^2 + 1 = (5x^2)^2 + 2 \cdot 5x^2 + 1 = (5x^2 + 1)^2 \)
π.χ.14 \( x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x - 1)^3 \)
Μέθοδος 4η: Με διάσπαση ή προσθαφαίρεση όρου-όρων
π.χ.15 \( x^4 + y^4 =\)
\(=x^4 + y^4 + 2x^2y^2 - 2x^2y^2 = \)
\(=(x^2 + y^2)^2-2x^2y^2 =\)
\(= (x^2 + y^2)^2- (\sqrt{2}xy)^2 =\)
\(=(x^2 + y^2-\sqrt{2}xy)(x^2 + y^2+\sqrt{2}xy) \)
Μέθοδος 5η. Συνδυασµός των παραπάνω μεθόδων.