Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Ταυτότητα λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της.

Οι ταυτότητες  χρησιμοποιούνται για τη γρηγορότερη εκτέλεση πράξεων ή απλοποίηση παραστάσεων. Υπάρχει ένα μεγάλο πλήθος ταυτοτήτων και καθένας μπορεί να δημιουργήσει μία ακόμα.

Οι πιο χρήσιμες όμως από αυτές είναι οι επόμενες:

• \( (α + β)^2 = α^2 + 2αβ + β^2 \)      
• \( (α - β)^2 = α^2 - 2αβ + β^2 \)
• \( (α + β)(α - β) = α^2 - β^2 \)
• \( (α + β)^3 = α^3 + 3α^2β + 3αβ^2 + β^3 \)
• \( (α - β)^3 = α^3 - 3α^2β + 3αβ^2 - β^3 \)
• \( α^3 + β^3 = (α + β)(α^2 - αβ + β^2) \)
• \( α^3 - β^3 = (α - β)(α^2 + αβ + β^2)  \)
• \( (α + β + γ)^2 = α2 + β^2 + γ^2 + 2αβ + 2βγ + 2γα \)

Σε ορισμένες περιπτώσεις χρήσιμες είναι και οι ταυτότητες:

• \( α^2 + β^2 = (α + β)^2 - 2αβ ,  α^2 + β^2 = (α - β)^2 + 2αβ \)
• \( α^3 + β^3 = (α + β)^3 - 3αβ(α + β) \)
• \( α^3 - β^3 = (α - β)^3 + 3αβ(α - β) \)
• \( α^3 + β^3 + γ^3 - 3αβγ  \) \(=(α + β + γ)(α^2 + β^2 + γ^2 - αβ - βγ - γα)  \) \(= \displaystyle\frac 12  (α + β + γ)[(α - β)^2 + (β - γ)^2 + (γ - α)^2]  \)  (Ταυτότητα των κύβων Euler)
• \( (α + β + γ)^3 = α^3 + β^3 + γ^3 + 3(α + β)(β + γ)(γ + α) \)

Ενώ οι προηγούμενες ταυτότητες ισχύουν για κάθε τιμή των μεταβλητών τους, υπάρχουν και ταυτότητες που ισχύουν όταν οι μεταβλητές τους υπόκεινται σε περιορισμούς.
Τέτοιες ταυτότητες λέγονται «υπό συνθήκη»:

• Αν \( α + β + γ = 0, \) τότε \( α^3 + β^3 + γ^3 = 3αβγ. \)
• Αν \( α^3 + β^3 + γ^3 = 3αβγ, \) τότε \( α + β + γ = 0 \) ή  \(α = β = γ. \)

Εφαρμογή 1η

Να αποδειχθούν οι ταυτότητες:
α)  \( (α + β)^2 + (α - β)^2 - 2(α^2 + β^2 - 1) = 2 \)
β)  \( (α + 2β)^2 - (2α - β)2 - 3(β^2 - α^2 + 2αβ) = 2αβ \)
γ)  \( (α + 2)^3 + (α - 2)^3 - 2α(α^2 + 10) = 4α \)
δ) \( 2(α + β + γ)2 - (α + β)2 - (β + γ)2 - (γ + α)2 = 2(αβ + βγ + γα) \)

Λύση

Για να αποδείξουμε μια ταυτότητα που έχει τη μορφή Α = Β, ακολουθούμε συνήθως έναν από τους εξής τρόπους:

1.   Ξεκινάμε από το α´ μέλος και καταλήγουμε στο β´ μέλος.
2.   Ξεκινάμε από το β´ μέλος και καταλήγουμε στο α´ μέλος.
3.   Υπολογίζουμε ξεχωριστά το κάθε μέλος και οδηγούμαστε στο ίδιο αποτέλεσμα Γ.
4.   Εργαζόμαστε συγχρόνως με ισοδυναμίες στην ισότητα Α = Β και καταλήγουμε σε μια σχέση που ισχύει.

α) Εκτελούμε τις πράξεις στο α´ μέλος:
\( (α + β)^2 + (α - β)^2 - 2(α^2 + β^2 - 1)= \) \( = (α^2 + 2αβ + β^2) + (α^2 - 2αβ + β^2) - 2α^2 - 2β^2 + 2 \) \( = α^2 + 2αβ + β^2 + α^2 - 2αβ + β^2 - 2α^2 - 2β^2 + 2 \)  \( = 2 \) (Οι υπόλοιποι όροι απλοποιούνται στην αναγωγή ομοίων όρων.)

β) \( (α + 2β)^2 - (2α - β)^2 - 3(β^2 - α^2 + 2αβ) = \) 
 \( = (α^2 + 4αβ + 4β^2) - (4α^2 - 4αβ + β^2) - 3β^2 + 3α^2 - 6αβ = \) 
 \( = α^2 + 4αβ + 4β^2 - 4α^2 + 4αβ - β^2 - 3β^2 + 3α^2 - 6αβ = \) 
 \( = 8αβ - 6αβ = 2αβ \) 

γ) \( (α + 2)^3 + (α - 2)^3 - 2α(α^2 + 10) = \)
 \( = (α^3+3α^2 \cdot 2+3α \cdot 2^2+2^3)+(α^3-3α^2 \cdot 2+3α \cdot  2^2-2^3)-2α^3-20α = \)
\( = (α^3+6α^2+12α+8)+(α^3-6α^2+12α-8)-2α^3-20α = \)
\( = 24α-20α=4α \)

δ) Επειδή  \( (α+β+γ)^2=α^2+β^2+γ^2+2αβ+2βγ+2γα, \) παίρνουμε:
\( 2(α+β+γ)^2-(α+β)^2-(β+γ)^2-(γ+α)^2= \)
\( =2(α^2+β^2+γ^2+2αβ+2βγ+2γα)-(α^2+2αβ+β^2)-(β^2+2βγ+γ^2)-(γ^2+2γα+α^2) = \)
\( =2α^2+2β^2+2γ^2+4αβ+4βγ+4γα-α^2-2αβ-β^2-β^2-2βγ-γ^2-γ^2-2γα-α^2= \)
\( =2αβ+2βγ+2γα=2(αβ+βγ+γα) \)