Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ
Κωδικός : G217121
-
Θεματικές Ενότητες
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\)
-
A2. Πράξεις - Ιδιότητες στο \(R\) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων
-
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α4. Ταυτότητες
-
Α4. Ταυτότητες - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A5. Παραγοντοποίηση
-
A5. Παραγοντοποίηση - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών
-
A6. Διάταξη Πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού
-
A7. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών
-
Α8. Ρίζες πραγματικών αριθμών - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού
-
Α9. Εξισώσεις 1ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις)
-
Α10. Εξισώσεις της μορφής \(x^\nu =\alpha, \) όπου \(\nu \in \mathbb{N}^*,\alpha \in \mathbb{R}\) (Διώνυμες Εξισώσεις) - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α11. Εξισώσεις 2ου βαθμού: \(\alpha x^2+\beta x+\gamma =0\) όπου \(\alpha \neq 0\)
-
Α12. Εξισώσεις που ανάγονται σε 2ου βαθμού
-
Α13. Παραμετρικές Εξισώσεις 2ου βαθμού
-
Α11-12-13. Εξισώσεις 2ου βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α14. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (βασική μορφή)
-
Α15. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού (παραμετρικές)
-
Α16. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές
-
Α17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού με απόλυτες τιμές (σύνθετες)
-
Α14-15-16-17. Ανισώσεις \( 1^{ου} \) βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
Α18. Παραγοντοποίηση τριωνύμου
-
Α19. Πρόσημο τριωνύμου
-
Α20. Ανισώσεις \( 2^{ου} \) βαθμού (μορφές \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma >0 \) ή \( \alpha x^2 + \beta x + \gamma <0, \alpha \neq 0 \) )
-
A21. Ανισώσεις "γινόμενο" και ανισώσεις "πηλίκο"
-
A18-19-20-21. Ανισώσεις \( 2^{ου}\) Βαθμού - Λυμένα θέματα από την ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
-
A1. Οι πραγματικοί αριθμοί
Α3. Ιδιότητες των δυνάμεων
Έστω \( \alpha \) ένας πραγματικός αριθμός και \( \nu \) ένας φυσικός αριθμός. Τότε ορίζουμε:
\( \underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot ... \cdot \alpha }=\alpha ^{\nu} \)
\( \nu \) -παράγοντες
Ο \( \alpha \) λέγεται βάση και ο \( \nu \) εκθέτης της δύναμης \( \alpha^{\nu} \).
Eπιπλέον ορίζουμε:
\( \displaystyle \alpha^{0} = 1\) για κάθε αριθμό \(\displaystyle \alpha \neq 0 \) και
\( \displaystyle \alpha^{-\nu} = \displaystyle \frac {1} {\displaystyle \alpha^{\nu}}\) , για κάθε πραγματικό αριθμό \(\displaystyle \alpha \neq 0 \)
Από τα παραπάνω προκύπτει οτι \( \left( \cfrac {α}{β} \right) ^{-\nu} = \left( \cfrac {β}{α} \right) ^{ \nu}\) για \( \alpha, \beta \neq 0 \) και \( \nu \) ένας φυσικός αριθμός.
Ιδιότητες δυνάμεων με ακέραιους εκθέτες
- \( α^{ μ} \cdot α^{ν} = α^{ μ+ν} \)
- \( \cfrac {α^{ μ} }{ α^{ν} } = α^{ μ-ν} \)
- \( (αβ)^{ν} = α^{ν} β^{ν} \)
- \( \left( \cfrac {α}{β} \right) ^{ν} = \cfrac{α^{ν}}{β^{ν}} \)
- \( \left( α^{μ} \right)^{ν} = α^{μ \cdot ν} \)
Σχόλια
- Όταν ο εκθέτης είναι άρτιος: \( (-α)^{2ν}=α^{2ν} \) ενώ
όταν ο εκθέτης είναι περιττός: \((-α)^{2ν+1}=-α^{2ν} \)
πχ.1 \( (-2)^{4}=2^{4} =16 \) διότι ο εκθέτης 4 είναι άρτιος
πχ.2 \( (-2)^{5}=-2^{5} =-16 \) διότι ο εκθέτης 5 είναι περιττός
- Σε κλάσμα, μια δύναμη μπορεί να αλλάζει θέση από τον αριθμητή στον παρονομαστή ή αντίστροφα, αρκεί να αλλάζουμε το πρόσημο του εκθέτη της δύναμης.
πχ.3 \( \displaystyle \cfrac {3α^{κ} }{ 5β^{-λ} } = \displaystyle \cfrac {3β^{λ} }{ 5α^{-κ} } \)
Εφαρμογή 1η
Να γραφεί ως μία δύναμη καθεμιά από τις παραστάσεις:
α) \( Α=\displaystyle\frac {8^7 \cdot 32^4}{4^6 \cdot 16^6} \)
β) \( Β=\displaystyle\frac {9^6 \cdot 27^5}{81^6 } \)
γ) \( Γ=\displaystyle\frac {54^3 \cdot 52^9}{26^9 \cdot 2^3} \)
δ) \( Δ=\displaystyle\frac {\left(4^{-2}\right)^{-3} \cdot \left(8^{-3}\right)^{-5}}{\left(16^{-4}\right)^{2} \cdot \left(32^{-3}\right)^{-4}} \)
Λύση
α) \( Α=\displaystyle\frac {8^7 \cdot 32^4}{4^6 \cdot 16^6} \) \( = \displaystyle\frac {\left(2^{3}\right)^{7} \cdot \left(2^{5}\right)^{4}}{\left(2^{2}\right)^{6} \cdot \left(2^{4}\right)^{6}} \) \(=\displaystyle\frac {2^{21} \cdot 2^{20}}{2^{12} \cdot 2^{24}} \) \(=\displaystyle\frac {2^{41} }{2^{36} } \) \(=2^5 \)
β) \( Β=\displaystyle\frac {9^6 \cdot 27^5}{81^6 } \) \( = \displaystyle\frac {\left(3^{2}\right)^{6} \cdot \left(3^{3}\right)^{5}}{\left(3^{4}\right)^{6} } \) \(=\displaystyle\frac {3^{12} \cdot 3^{15}}{3^{24} } \) \(=\displaystyle\frac {3^{27} }{3^{24} } \) \(=3^3 \)
γ) \( Γ=\displaystyle\frac {54^3 \cdot 52^9}{26^9 \cdot 2^3} \) \( = \displaystyle\frac {54^3 }{2^3} \cdot \displaystyle\frac {52^9 }{26^9} \) \( = \left( \displaystyle\frac {54 }{2} \right)^{3} \cdot \left( \displaystyle\frac {52 }{26} \right)^{9} \) \( =27^3 \cdot 2^9 \) \( = \left( 3^3 \right)^3 \cdot 2^9 \) \( = 3^9 \cdot 2^9 \) \( \left( 3 \cdot 2 \right)^9 \) \( =6^9 \)
δ) \( Δ=\displaystyle\frac {\left(4^{-2}\right)^{-3} \cdot \left(8^{-3}\right)^{-5}}{\left(16^{-4}\right)^{2} \cdot \left(32^{-3}\right)^{-4}} \) \( = \displaystyle \frac {4^6 \cdot 8^{15}}{16^{-8} \cdot 32^{12}} \) \( = \displaystyle\frac {\left(2^{2}\right)^{6} \cdot \left(2^{3}\right)^{15}}{\left(2^{4}\right)^{-8} \cdot \left(2^{5}\right)^{12}} \) \( = \displaystyle \frac {2^{12} \cdot 2^{45}}{2^{-32} \cdot 2^{60}} \) \( = \displaystyle \frac {2^{57} }{2^{28} } \) \( =2^{29} \)