Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Έστω \( \alpha \)  ένας πραγματικός αριθμός και \( \nu  \)  ένας φυσικός αριθμός. Τότε ορίζουμε:

\( \underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot ... \cdot \alpha }=\alpha ^{\nu} \)

\( \nu  \) -παράγοντες

Ο \( \alpha \)  λέγεται βάση και ο \( \nu  \)  εκθέτης της δύναμης \( \alpha^{\nu} \).

Eπιπλέον ορίζουμε: 

          \( \displaystyle \alpha^{0} = 1\) για κάθε αριθμό \(\displaystyle \alpha \neq 0 \) και 

          \( \displaystyle \alpha^{-\nu} = \displaystyle \frac {1} {\displaystyle \alpha^{\nu}}\) , για κάθε πραγματικό αριθμό \(\displaystyle \alpha \neq 0 \)

Από τα παραπάνω προκύπτει οτι \(  \left( \cfrac {α}{β} \right) ^{-\nu} =   \left( \cfrac {β}{α} \right) ^{ \nu}\) για \( \alpha, \beta \neq 0 \)  και \( \nu  \)  ένας φυσικός αριθμός.

Ιδιότητες  δυνάμεων με ακέραιους  εκθέτες

• \(  α^{  μ} \cdot  α^{ν} =  α^{  μ+ν} \)
• \( \cfrac {α^{  μ} }{ α^{ν} } =  α^{  μ-ν} \)
• \( (αβ)^{ν} = α^{ν} β^{ν}  \)
• \( \left( \cfrac {α}{β} \right) ^{ν} = \cfrac{α^{ν}}{β^{ν}} \)
• \( \left( α^{μ} \right)^{ν} = α^{μ \cdot ν} \)

Σχόλια

• Όταν ο εκθέτης είναι άρτιος:   \( (-α)^{2ν}=α^{2ν} \) ενώ 
  όταν ο εκθέτης είναι περιττός: \((-α)^{2ν+1}=-α^{2ν} \)
  
  πχ.1  \( (-2)^{4}=2^{4} =16 \) διότι ο εκθέτης 4 είναι άρτιος
  πχ.2  \( (-2)^{5}=-2^{5} =-16 \)  διότι ο εκθέτης 5 είναι περιττός

• Σε κλάσμα, μια δύναμη μπορεί να αλλάζει θέση από τον αριθμητή στον παρονομαστή  ή αντίστροφα, αρκεί να αλλάζουμε το πρόσημο του εκθέτη της δύναμης.
  
  πχ.3  \( \displaystyle \cfrac {3α^{κ} }{ 5β^{-λ} } = \displaystyle \cfrac {3β^{λ} }{ 5α^{-κ} } \)

Εφαρμογή 1η

Να γραφεί ως μία δύναμη καθεμιά από τις παραστάσεις:

α) \( Α=\displaystyle\frac {8^7 \cdot 32^4}{4^6 \cdot 16^6} \)

β) \( Β=\displaystyle\frac {9^6 \cdot 27^5}{81^6 } \)

γ) \( Γ=\displaystyle\frac {54^3 \cdot 52^9}{26^9 \cdot 2^3} \)

δ) \( Δ=\displaystyle\frac {\left(4^{-2}\right)^{-3} \cdot \left(8^{-3}\right)^{-5}}{\left(16^{-4}\right)^{2} \cdot \left(32^{-3}\right)^{-4}} \)

Λύση

α) \( Α=\displaystyle\frac {8^7 \cdot 32^4}{4^6 \cdot 16^6} \) \( = \displaystyle\frac {\left(2^{3}\right)^{7} \cdot \left(2^{5}\right)^{4}}{\left(2^{2}\right)^{6} \cdot \left(2^{4}\right)^{6}}  \)  \(=\displaystyle\frac {2^{21} \cdot 2^{20}}{2^{12} \cdot 2^{24}} \)  \(=\displaystyle\frac {2^{41} }{2^{36} } \) \(=2^5 \)

β) \( Β=\displaystyle\frac {9^6 \cdot 27^5}{81^6 } \)  \( = \displaystyle\frac {\left(3^{2}\right)^{6} \cdot \left(3^{3}\right)^{5}}{\left(3^{4}\right)^{6} }  \)    \(=\displaystyle\frac {3^{12} \cdot 3^{15}}{3^{24} } \)   \(=\displaystyle\frac {3^{27} }{3^{24} } \) \(=3^3 \)

γ) \( Γ=\displaystyle\frac {54^3 \cdot 52^9}{26^9 \cdot 2^3} \)  \(  = \displaystyle\frac {54^3 }{2^3} \cdot \displaystyle\frac {52^9 }{26^9} \)  \( = \left(  \displaystyle\frac {54 }{2}  \right)^{3} \cdot  \left(  \displaystyle\frac {52 }{26}  \right)^{9}  \) \(  =27^3 \cdot 2^9  \)  \(  = \left(  3^3  \right)^3 \cdot 2^9  \)  \( = 3^9 \cdot 2^9  \)  \(   \left( 3 \cdot 2 \right)^9  \)  \(  =6^9  \)

δ) \( Δ=\displaystyle\frac {\left(4^{-2}\right)^{-3} \cdot \left(8^{-3}\right)^{-5}}{\left(16^{-4}\right)^{2} \cdot \left(32^{-3}\right)^{-4}} \)    \( = \displaystyle \frac {4^6 \cdot 8^{15}}{16^{-8} \cdot 32^{12}} \)   \( = \displaystyle\frac {\left(2^{2}\right)^{6} \cdot \left(2^{3}\right)^{15}}{\left(2^{4}\right)^{-8} \cdot \left(2^{5}\right)^{12}}  \)    \( = \displaystyle \frac {2^{12} \cdot 2^{45}}{2^{-32} \cdot 2^{60}} \)   \( = \displaystyle \frac {2^{57} }{2^{28} } \)   \(  =2^{29}  \)