Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Πρόσθεση δύο πραγματικών αριθμών

• Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, βάζουμε το κοινό τους πρόσημο και κάνουμε πρόσθεση των απολύτων τιμών τους.
• Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους αριθμούς, βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή και αφαιρούμε την απόλυτη τιμή του μικρότερου από την απόλυτη τιμή του μεγαλύτερου.

Παραδείγματα

• • (+5) + (+2) = +7   =  7   
  • (−3) + (−5) = −8       
  • (+12) + (–3) = +9  = 9
  • (+ 6) + ( –11) = −5

Πρόσθεση πραγματικών αριθμών
Για να προσθέσουμε πολλούς πραγματικούς αριθμούς προσθέτουμε χωριστά όλους τους θετικούς και όλους τους αρνητικούς αριθμούς, οπότε τελικά έχουμε πρόσθεση δύο ετερόσημων αριθμών.

Παράδειγμα
(+8) + (−5) + (+4) + (−3) + (−7) + (+1) =

= (+8) + (+4) + (+1) + (−5) + (–3) + (–7) =

= (+13) + (−15) =

= − 2

Αφαίρεση δύο πραγματικών αριθμών
Ισχύει ο τύπος: \( α – β = α + (−β) \)

Παραδείγματα

• • 5 − 2 = 5 + (−2) = 3 • 3 − 8 = (+3) + (−8) = −5
  • − 3 − 5 = (−3) + (−5) = −8 • + 6 – 11 = (+6) + (−11) = − 5

Προσθέσεις και αφαιρέσεις χωρίς παρενθέσεις
Προσθέτουμε χωριστά όλους τους θετικούς και όλους τους αρνητικούς αριθμούς, οπότε τελικά έχουμε πρόσθεση δύο ετερόσημων αριθμών.
Παραδείγματα
• 8 – 12 – 3 + 2 – 5 – 6 + 7 = 8 + 2 + 7 – 12 – 3 – 5 – 6 = 17 – 26 = −9
• −9 − 3 + 5 − 2 + 16 – 7 = 5 + 16 – 9 – 3 – 2 – 7 = 21 – 21 = 0
Απαλοιφή παρενθέσεων
 Όταν μπροστά από μια παρένθεση υπάρχει +, φεύγει το + και η παρένθεση χωρίς καμία αλλαγή στα πρόσημα των όρων εντός της παρένθεσης.
 Όταν μπροστά από μια παρένθεση υπάρχει −, φεύγει το − και η παρένθεση και αλλάζουν όλα τα πρόσημα των όρων εντός της παρένθεσης.
Παραδείγματα
• 15 + (3 – 5 + 2 – 16 – 7) = 15 + 3 – 5 + 2 – 16 – 7 =
= 15 + 3 + 2 – 5 – 16 – 7 = 20 – 28 = −8
• 15 − (3 – 5 + 2 – 6 – 7) = 15 − 3 + 5 − 2 + 6 + 7 =
= 15 + 5 + 6 + 7 − 3 − 2 = 33 – 5 = 28
Πολλαπλασιασμός πραγματικών αριθμών
Όταν θέλουμε να πολλαπλασιάσουμε αριθμούς, μετράμε πόσοι είναι οι αρνητικοί
αριθμοί που υπάρχουν:
Αν το πλήθος των αρνητικών είναι άρτιος αριθμός (0 ή 2 ή 4 κ.τ.λ.), βάζουμε
πρόσημο + και πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών.
Αν το πλήθος των αρνητικών είναι περιττός αριθμός (1 ή 3 ή 5 κ.τ.λ.),
βάζουμε πρόσημο − και πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές των αριθμών.

Στο σύνολο \(R\) των πραγματικών αριθμών ορίζεται η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Με τη βοήθεια αυτών ορίζεται η αφαίρεση και η διαίρεση.
Για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες: 

Ο αριθμός \(0\) λέγεται ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το \(1\) ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, αφού:
\(α + 0 = 0 + α = α\) και \(α \cdot 1 = 1 \cdot α = α\) για κάθε πραγματικό αριθμό \(α\).

Η αφαίρεση και η διαίρεση στο σύνολο R ορίζονται ως εξής:
\(  α - β = α + (-β)\) και \(α : β = \displaystyle\frac{α}{β} = α \cdot \displaystyle\frac{1}{β}, β \neq 0 \)

Για τις τέσσερις πράξεις και την ισότητα ισχύουν και οι ακόλουθες ιδιότητες:

α) Στα δύο μέλη μιας ισότητας μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό:

\(α = β \Leftrightarrow α + γ = β + γ\)

Η ιδιότητα αυτή λέγεται ιδιότητα της διαγραφής για την πρόσθεση.

β) Τα δύο μέλη μιας ισότητας μπορούμε να τα πολλαπλασιάσουμε ή να τα διαιρέσουμε με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό:

Αν \(γ \neq 0\), τότε

\(α = β \Rightarrow α \cdot γ = β \cdot γ\)

και 

\( α \cdot γ = β \cdot γ  \Rightarrow α = β\) , όπου \(γ\neq 0 \)

Η τελευταία λέγεται ιδιότητα της διαγραφής για τον πολλαπλασιασμό.

Προσοχή! Στη διαγραφή πρέπει ο διαγραφόμενος παράγοντας να είναι διάφορος του μηδενός.

γ) Το γινόμενο δύο ή περισσότερων πραγματικών αριθμών είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς αυτούς είναι ίσος με το μηδέν:

\(α \cdot β = 0 \Leftrightarrow (α = 0\) ή \(β = 0)\)

Από την ιδιότητα αυτή παίρνουμε ότι:

\(α \cdot β \neq 0 \Leftrightarrow (α \neq 0\) και \(β \neq 0)\)

Εφαρμογή 1η

Να απλοποιηθούν οι παραστάσεις:
α) \(Α = -(α - 2β) - [-(-2α + β) + 2(β - 2α)] \)
β) \(Β = -2(3β - α) - [3(2α - β) - 2(β + 2α) - 1] \)
γ) \(Γ = 2(-α + β + γ) - [3(β - γ) + 2(γ - α) + 3γ] \)

Λύση

α)  Απαλείφουμε τις παρενθέσεις από μέσα προς τα έξω:
\( Α = -(α - 2β) - [- (-2α + β) + 2(β - 2α)] \)

\(= -α + 2β - (2α - β + 2β - 4α) \)

\(= -α + 2β - 2α + β - 2β + 4α \)

\(= α + β  \)

β)  Ακολουθούμε τη διαδικασία που περιγράφει το σχόλιο, εκτελώντας τις πράξεις με την επιμεριστική ιδιότητα.
\( Β = -2(3β - α) - [3(2α - β) - 2(β + 2α) - 1] \)

\(= -6β + 2α - (6α - 3β - 2β - 4α - 1) \)

\(= -6β + 2α - 6α + 3β + 2β + 4α + 1 \)

\(= 1 - β \)

γ)  \( Γ = 2(-α + β + γ) - [3(β - γ) + 2(γ - α) + 3γ] \)

\(= -2α + 2β + 2γ - (3β - 3γ + 2γ - 2α + 3γ) \)

\(= -2α + 2β + 2γ - 3β + 3γ - 2γ + 2α - 3γ \)

\(=-β \)

Εφαρμογή 2η

Να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων:

α) \( Α= \displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{2}{3} }{2+\displaystyle\frac{3}{4} } \cdot \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{11}{5} }{ \displaystyle\frac{4}{3} } \)

β)  \( Β= \left(  2-\displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{5}{2} }{2+\displaystyle\frac{1}{2} } \right)  : \left(  4-\displaystyle\frac{3+\displaystyle\frac{2}{3} }{3-\displaystyle\frac{4}{3} } \right) \)

Λύση 

α) \( Α= \displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{2}{3} }{2+\displaystyle\frac{3}{4} } \cdot \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{11}{5} }{ \displaystyle\frac{4}{3} } \) \(=  \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3+2}{3} }{\displaystyle\frac{8+3}{4} } \cdot \displaystyle\frac{3 \cdot 11}{4 \cdot 5}  \)  \(=  \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{5}{3} }{\displaystyle\frac{11}{4} } \cdot \displaystyle\frac{3 \cdot 11}{4 \cdot 5}  \)  \(=  \displaystyle\frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 11 } \cdot \displaystyle\frac{3 \cdot 11}{4 \cdot 5}  \)  \(=1\)

β) Επειδή οι όροι της παράστασης Β είναι επίσης αριθμητικές παραστάσεις, θα απλοποιήσουμε ξεχωριστά τον αριθμητή από τον παρονομαστή. Έχουμε:

\(   2-\displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{5}{2} }{2+\displaystyle\frac{1}{2} } \) \(= 2-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3 \cdot 2-5}{2} }{\displaystyle\frac{2 \cdot 2 +1}{2} } \) \(= 2-\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{1}{2} }{ \displaystyle\frac{1}{2} } \) \(= 2-\displaystyle\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 5}  \) \(= 2-\displaystyle\frac{1}{ 5}  \)  \(= \displaystyle\frac{10-1}{ 5}  \)  \(=\displaystyle\frac{9}{ 5}  \) 

Επίσης, 

\( 4-\displaystyle\frac{3+\displaystyle\frac{2}{3} }{3-\displaystyle\frac{4}{3} } \)   \(= 4-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3 \cdot 3 + 2}{3} }{\displaystyle\frac{3 \cdot 3-4}{3} } \) \(= 4-\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{11}{3} }{\displaystyle\frac{5}{3} } \)  \(= 4-\displaystyle\frac{11 \cdot 3}{3 \cdot 5 } \)  \(= 4-\displaystyle\frac{11 }{5 } \) \(=  \displaystyle\frac{20-11 }{5 } \)  \(=  \displaystyle\frac{9 }{5 } \) 

Άρα θα είναι:

\( B=  \displaystyle\frac{9 }{5 } : \displaystyle\frac{9 }{5 }=1 \) 

Εφαρμογή 3η

Δίνεται ο αριθμός Α(x) = (x - 1)(2 - x)(6 + 2x).
α) Για ποιες τιμές του x είναι Α(x) = 0;
β) Να βρεθούν οι τιμές του x, ώστε Α(x) ! 0.
γ) Να βρεθούν οι τιμές του x, ώστε ο Α(x) να έχει αντίστροφο.

Λύση

α)  \( Α(x) = 0 \Leftrightarrow  (x - 1)(2 - x)(6 + 2x) = 0  \Leftrightarrow  \)
\( (x - 1 = 0 \) ή \( 2 - x = 0 \) ή \( 6 + 2x = 0) \Leftrightarrow \)
\( (x = 1 \) ή \( x = 2 \) ή \( 2x = -6)  \Leftrightarrow \)
\( (x = 1 \) ή \( x = 2 \) ή \( x = -3) \)

β)  \( Α(x) \neq 0 \Leftrightarrow \) \( (x \neq 1 \) και  \( x \neq 2 \) και  \( x \neq -3) \)

γ) Για να έχει ένας αριθμός αντίστροφο, πρέπει αυτός να είναι διαφορετικός από το μηδέν.

Επομένως ο Α(x) έχει αντίστροφο, μόνο αν: \( (x \neq 1 \) και  \( x \neq 2 \) και  \( x \neq -3) \)