Μάθημα : Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ - ΑΛΓΕΒΡΑ

Οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε στα μαθηματικά του λυκείου λέγονται πραγματικοί.

Οι πραγματικοί αριθμοί χωρίζονται σε δύο μεγάλα σύνολα:

• Το σύνολο Q των ρητών.
• Το σύνολο των άρρητων αριθμών.

Ρητοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή  \(  \cfrac{α}{β} \), όπου α, β είναι ακέραιοι αριθμοί με β\(    \neq \)0.

Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός αριθμός

και αντιστρόφως

Κάθε δεκαδικός αριθμός ή περιοδικός δεκαδικός αριθμός είναι ρητός.

Παραδείγματα:

• Οι αριθμοί 3, -7, \(  \cfrac{2}{9} \) , \( - \cfrac{3}{5} \)  είναι ρητοί.
• Οι αριθμοί  0,52      2,7131        -6,4252525  είναι ρητοί.
• Οι αριθμοί 0,3333…  και 2,728282828…  είναι περιοδικοί δεκαδικοί αριθμοί, οπότε είναι ρητοί.
• Οι αριθμοί \(  \sqrt{2}, \sqrt{7}, -\sqrt{7}\)  και \(1,010010001… \) είναι άρρητοι.

Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να τοποθετηθούν σε έναν άξονα, που λέγεται άξονας των πραγματικών αριθμών.

Μετατροπή περιοδικού σε κλάσμα

• \(0,\overline{a} =\displaystyle\frac{a}{9} \)    
      π.χ. \(0,\overline{4} =\displaystyle\frac{4}{9} \)
• \(0,a\overline{b} =\displaystyle\frac{ab-a}{90} \) 
      π.χ.  \(0,2\overline{3} =\displaystyle\frac{23-2}{90} =\displaystyle\frac{21}{90} \)
• \(0,ab\overline{c} =\displaystyle\frac{abc-ab}{900} \) 
      π.χ. \(0,23\overline{4} =\displaystyle\frac{234-23}{900} =\displaystyle\frac{211}{900}\)
• \(0,abc\overline{d} =\displaystyle\frac{abcd-abc}{9000} \) 
      π.χ. \(0,234\overline{5} =\displaystyle\frac{2345-234}{9000} =\displaystyle\frac{2111}{9000} \) 
• \(0,ab\overline{cde} =\displaystyle\frac{abcde-ab}{99900} \) 
      π.χ. \(0,23\overline{456} =\displaystyle\frac{23456-23}{99900} =\displaystyle\frac{23433}{99900}\)

Η παύλα δείχνει την περίοδο.

Άσκηση Λυμένη

Ποιοι από τους παρακάτω αριθμούς είναι ρητοί και ποιοι άρρητοι;

α) \(-7\)

β) \(+10\)

γ) \(  \displaystyle\frac 38 \)

δ) \( -\displaystyle\frac{7}{13} \)

ε) \( \sqrt{7} \)

στ) \( -\sqrt{13} \)
ζ) \( \sqrt{25} \)

η) \( -\sqrt{144} \)

θ) \(0,2222…\)

ι) \(2,353535…\)

ια) \(3,4151515…\)

Απάντηση

α) Ο αριθμός \(-7\) είναι ακέραιος οπότε είναι και ρητός. Ας παρατηρήσουμε ότι: \( -7 =  \displaystyle\frac{-7}{1} \)

β) Ο αριθμός \(+10\) είναι είναι φυσικός αλλά και ακέραιος  και ρητός.

γ) Ο αριθμός \(  \displaystyle\frac 38 \)  είναι ρητός και μάλιστα θετικός.

δ) Ο αριθμός \( -\displaystyle\frac{7}{13} \) είναι ρητός και μάλιστα αρνητικός.

ε), στ) Οι αριθμοί \( \sqrt{7} \)  και  \( -\sqrt{13} \) είναι άρρητοι αριθμοί, διότι οι αριθμοί 7 και 13 δεν μπορούν να γραφούν ως  τετράγωνα φυσικών αριθμών.

ζ), η) Επειδή \( \sqrt{25} = 5 \)  και \( -\sqrt{144} =- \sqrt{12}^2= -12\), οι αριθμοί \(25\) και \(-144\) είναι ρητοί.

θ) Ο αριθμός \(x = 0,2222…\) είναι περιοδικός δεκαδικός αριθμός (με περίοδο \(2\)), οπότε είναι ρητός.
Μπορούμε να γράψουμε: \(x = 0,222… = 0,\overline{2} =\displaystyle\frac{2}{9} \).

ι) Ο αριθμός \(x = 2,353535…\) είναι περιοδικός δεκαδικός αριθμός (με περίοδο \(35\)), οπότε είναι ρητός.
Μπορούμε να γράψουμε:

\(x = 2,\displaystyle\overline{35} =2+\displaystyle\frac{35}{99} =\displaystyle\frac{233}{99}\)

ια) Ο αριθμός \(x = 3,4151515…\) είναι περιοδικός δεκαδικός αριθμός με περίοδο \(15\), οπότε είναι ρητός.
Είναι: \(x = 3,4\displaystyle\overline{15} =\displaystyle\frac{3415-34}{990} =\displaystyle\frac{3381}{990}\)