Προχωρημένα θέματα > Τα μαθηματικά στον πυρήνα του Sketchpad |

Τα μαθηματικά στον πυρήνα του Sketchpad καθορίζουν τον τρόπο υπολογισμού και αναπαράστασης των αριθμών, των γεωμετρικών σχημάτων, των συναρτήσεων και των άλλων μαθηματικών ποσοτήτων από το πρόγραμμα. Αυτός με τη σειρά του καθορίζει τον τρόπο εμφάνισης αυτών των αντικειμένων από πλευράς γραφικών, αριθμητικών τιμών ή συμβολισμών.

Στο αριθμητικό επίπεδο, το Sketchpad αναπαριστά συντεταγμένες σημείων και άλλες ποσότητες με χρήση αριθμητικών μονάδων 64 bit με κινητή υποδιαστολή. Αυτή η τυποποιημένη αναπαράσταση επιστημονικού υπολογισμού δίνει τη δυνατότητα στον υπολογιστή σας να αναπαριστά μία τιμή με 14 έως 16 σημαντικά ψηφία ακρίβειας δεκαδικών σε ένα μεγάλο εύρος τάξεων μεγέθους (χοντρικά, μεγάλης τάξης μεγέθους έως ±10300 και μικρής έως ±10–300). Αν και αυτό προσφέρει μεγάλη ακρίβεια, δεν είναι ακριβές από μαθηματική σκοπιά. (Για παράδειγμα, το π δεν είναι δυνατόν να αναπαρασταθεί με ακρίβεια μόνο με 15 σημαντικά ψηφία.) Το Sketchpad χρησιμοποιεί συντονισμένους αλγόριθμους στην προσπάθειά του για αναπαράσταση των αριθμών όσο το δυνατόν πιο κοντά στην ακριβή τιμή τους, αλλά και για την ελαχιστοποίηση του αναπόφευκτου σφάλματος που υπεισέρχεται λόγω της εκτέλεσης υπολογισμών με μόνο ένα περιορισμένο πλήθος σημαντικών ψηφίων. Ωστόσο, ίσως συναντήσετε περιπτώσεις αριθμητικού σφάλματος στα λιγότερο σημαντικά ψηφία αριθμών σε σχέδια που περιέχουν πολλούς εσωτερικούς υπολογισμούς. Δυστυχώς, κανένα πρόγραμμα και κανένας υπολογιστής δεν μπορεί να αναπαραστήσει τον κάθε αριθμό με ακρίβεια: υπάρχει άπειρο πλήθος αριθμών, φυσικά, και (σήμερα τουλάχιστον!) οι υπολογιστές διαθέτουν μόνο μία περιορισμένη ποσότητα μνήμης. Επομένως, αν και οι αριθμητικοί υπολογισμοί τού Sketchpad γενικά είναι αξιόπιστοι και μπορούν να αποτελέσουν τη βάση για ένα πειστικό επιχείρημα ή μία πειστική εικασία, τα αποτελέσματα του Sketchpad δεν θα πρέπει ποτέ εσφαλμένα να θεωρηθούν ότι συνιστούν μαθηματική απόδειξη.

Δεν πρέπει να συγχέετε την προβαλλόμενη ακρίβεια μιας τιμής με την ακρίβεια ή την αξιοπιστία της στον πυρήνα του Sketchpad. Όταν προβάλλετε μία τιμή (όπως μία μέτρηση), εμφανίζεται μόνον ως προσεγγιστικός αριθμός με βάση τα δεκαδικά ψηφία που έχετε επιλέξει στις Προτιμήσεις ή στις Ιδιότητες. Στον πυρήνα του προγράμματος, αυτός ο αριθμός αναπαριστάται με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια, όπως περιγράφεται στο παρόν κεφάλαιο.

Στο επίπεδο των γραφικών, το Sketchpad μετασχηματίζει τις δικές του εσωτερικές αναπαραστάσεις σε σχήματα και θέσεις που εμφανίζονται στο παράθυρο του σχεδίου σας. Για αντικείμενα όπως κύκλοι, σημεία και ευθύγραμμα τμήματα, οι κατασκευασμένες εικόνες είναι όσο πιο πιστές γίνεται να προβληθούν στην οθόνη του υπολογιστή σας. (Όταν εκτυπώνετε σε εκτυπωτή με υψηλότερη ευκρίνεια από την ευκρίνεια της οθόνης σας, θα δείτε ότι οι εικόνες είναι ακόμη πιο αξιόπιστες από την απεικόνισή τους στην οθόνη.)

Ωστόσο, για τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων και τις αποτυπώσεις γεωμετρικών τόπων, το Sketchpad εμφανίζει μόνο μία οπτική προσέγγιση του ιδανικού μαθηματικού σχήματος της καμπύλης. Κυρίως επειδή πρέπει να διατηρείται η δυνατότητα ανταπόκρισης του προγράμματος όταν σύρετε για να μετακινήσετε αντικείμενα, το Sketchpad χρησιμοποιεί την ίδια τεχνική για την αποτύπωση αυτών των αντικειμένων με την τεχνική που κάποιος άνθρωπος θα εφάρμοζε αν τα αποτύπωνε με το χέρι: εξάγει τις τιμές για την ιδανική καμπύλη σε διάφορες θέσεις (οι οποίες ονομάζονται δείγματα), στη συνέχεια αποτυπώνει την καμπύλη με παρεμβολή μεταξύ αυτών των γνωστών δειγμάτων. Τα ίδια τα δείγματα είναι πολύ ακριβή, αλλά οι παρεμβολές ενδέχεται να είναι ή να μην είναι ακριβείς, ανάλογα με το ιδανικό σχήμα του μαθηματικού αντικειμένου. Η καρτέλα επιλογών Ιδιότητες | Γραφική παράσταση σας δίνει τη δυνατότητα να ρυθμίσετε το πλήθος των δειγμάτων που χρησιμοποιεί το Sketchpad για την αποτύπωση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ή ενός γεωμετρικού τόπου, καθώς και το αν θα προβάλλει τη γραφική παράσταση μόνο ως (ασυνεχή) συλλογή ακριβών δειγμάτων ή περιλαμβάνοντας τις (συνεχείς) παρεμβολές μεταξύ των δειγμάτων. Αν προτιμάτε σταθερά μεγαλύτερο πλήθος δειγμάτων από όσα χρησιμοποιεί το Sketchpad ως προεπιλογή, μπορείτε να αυξήσετε την προεπιλογή στην καρτέλα επιλογών Προτιμήσεις | Δειγματοληψία. Επίσης, αν και το Sketchpad χρησιμοποιεί προσεγγιστικές παρεμβολές για τους σκοπούς της προβολής, πρέπει να γνωρίζετε ότι ποτέ δεν βασίζεται σε αυτές για σκοπούς μαθηματικών λειτουργιών. Επομένως, αν κατασκευάσετε ένα σημείο πάνω σε μία γραφική παράσταση συνάρτησης ή σε έναν γεωμετρικό τόπο (ή χρησιμοποιήσετε τον Υπολογιστή, για να εκτιμήσετε μία συνάρτηση για δοσμένες τιμές), οι συντεταγμένες αυτού του σημείου (ή οι τιμές της συνάρτησης) θα βασίζονται πάντα στην ακριβή καμπύλη ή στην ακριβή συνάρτηση και όχι στην οπτική προσέγγισή της.

Τέλος, στο συμβολικό επίπεδο, το Sketchpad εκτελεί αλγεβρικές πράξεις απλού υπολογιστή για την παραγώγιση συναρτήσεων, όταν χρησιμοποιείτε την εντολή Παράγωγος από το μενού Γράφημα. Αν και αυτές οι υπολογιζόμενες παράγωγοι είναι γενικά αξιόπιστες για τους σκοπούς της δημιουργίας γραφημάτων και υπολογισμού τιμών, ενδέχεται να μην είναι ακριβείς. Συγκεκριμένα, κατά την παραγώγιση πολύπλοκων συναρτήσεων, το Sketchpad ενδέχεται να μην καταφέρει να απλοποιήσει τελείως το αποτέλεσμα, εισάγοντας σημειακές ασυνέχειες στην παράγωγο· επίσης το Sketchpad δεν εκτελεί υπολογισμούς των περιορισμών στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης παραγώγου. Χρησιμοποιήστε την εντολή Παράγωγος, για να υπολογίσετε την κλίση μιας συνάρτησης σε ένα τυχαίο σημείο για τους σκοπούς της δημιουργίας γραφήματος ή για μαθηματικές κατασκευές, αλλά φροντίστε να επαληθεύσετε το αποτέλεσμα πριν το χρησιμοποιήσετε ως βάση μιας μαθηματικής απόδειξης.

Βλέπε επίσης:

Ακρίβεια έναντι Πιστότητας

Ιδιότητες γραφικής παράστασης

Προτιμήσεις δειγματοληψίας

Παράγωγος

Προτιμήσεις μονάδων μέτρησης