Περιγραφή των μενού > Μενού Μετασχηματισμός > Επανάληψη > Πώς ... κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο Sierpinski |

Επειδή η επανάληψη μπορεί να εφαρμόζεται σε οποιονδήποτε τύπο κατασκευής του Sketchpad, οι επιλογές που την υποστηρίζουν με μια πρώτη ματιά μπορεί να φαίνονται τελείως πολύπλοκες. Ο καλύτερος τρόπος να κατανοήσετε την επανάληψη είναι να δουλέψετε με παραδείγματα επανάληψης. Σε αυτό το παράδειγμα θα χρησιμοποιήσετε επανάληψη για να ορίσετε ένα φράκταλ που είναι γνωστό ως Τρίγωνο Sierpinski. Αυτό το φράκταλ είναι το όριο της διαδικασίας αντικατάστασης ενός τριγώνου από τρία μικρότερα εσωτερικά τρίγωνα. Στη συνέχεια, το καθένα από αυτά τα τρία εσωτερικά τρίγωνα αντικαθίσταται από τρία ακόμη μικρότερα τρίγωνα και ούτω καθεξής. Επειδή σε κάθε στάδιο αντικαθιστάτε ένα αρχικό τρίγωνο με τρία διαφορετικά τρίγωνα ειδώλων, θα χρειαστείτε τρεις χάρτες επανάληψης για να ορίσετε το φράκταλ.

1. | Σε ένα νέο σχέδιο, χρησιμοποιήστε το εργαλείο σχεδίασης τμημάτων για να κατασκευάσετε το ΔABΓ στο σχέδιό σας.

2. | Κατασκευάστε τα μέσα σημεία των πλευρών του τριγώνου σας. Χρησιμοποιώντας το εργαλείο κειμένου ονομάστε τις κορυφές A, B και Γ, και τα μέσα Δ, E και Ζ, όπως στο παρακάτω παράδειγμα.

Έχετε τώρα ένα αρχικό τρίγωνο και –έμμεσα- πολλά μικρότερα τρίγωνα, όπως το ΔAΖE, το ΔEBΔ και ούτω καθεξής. Σημειώστε ότι τα τρία μικρότερα τρίγωνα, ΔAΖE, ΔΖBΔ και ΔEΔΓ, σχηματίζουν τις εσωτερικές “γωνίες” του αρχικού τριγώνου σας.

3. | Επιλέξτε τα σημεία A, B και Γ, και χρησιμοποιήστε την εντολή Επανάληψη από το μενού Μετασχηματισμός.

4. | Στο πλαίσιο διαλόγου ‘Επανάληψη’, κάντε τις αντιστοιχίσεις:

A ⇒ Ζ, B ⇒ B και Γ ⇒ Δ.

Με αυτόν τον τρόπο αντιστοιχίζετε το αρχικό τρίγωνο στο ΔΖBΔ της κάτω αριστερά γωνίας. Θα πρέπει να δείτε μία σειρά από τρίγωνα τα οποία επαναλαμβάνονται στην κάτω αριστερά γωνία του αρχικού τριγώνου σας.

Σημειώστε ότι σε αυτό το βήμα αντιστοιχίζετε το σημείο B στον εαυτό του, διότι αυτή η κορυφή είναι η ίδια τόσο στο αρχικό τρίγωνο όσο και στο τρίγωνο της κάτω αριστερά γωνίας.

5. | Χρησιμοποιήστε το αναδυόμενου μενού ‘Δομή’ για να προσθέσετε ένα νέο χάρτη αντιστοίχισης στον κανόνα επανάληψης που ορίζετε. Στο νέο χάρτη αντιστοίχισης, κάντε τις αντιστοιχίσεις:

A ⇒ E, B ⇒ Δ και Γ ⇒ Γ.

Με αυτόν τον τρόπο αντιστοιχίζετε τώρα το αρχικό τρίγωνο στην κάτω δεξιά γωνία, ενώ ταυτόχρονα –από τον προηγούμενο χάρτη αντιστοίχισης- επαναλαμβάνετε το κάθε είδωλο στην κάτω αριστερή γωνία.

6. | Χρησιμοποιήστε και πάλι το αναδυόμενου μενού ‘Δομή’ για να προσθέσετε έναν τρίτο και τελευταίο νέο χάρτη αντιστοίχισης στον κανόνα επανάληψης που ορίζετε. Σε αυτόν το νέο χάρτη αντιστοίχισης, κάντε τις αντιστοιχίσεις:

A ⇒ A, B ⇒ Ζ και Γ ⇒ E.

Με αυτόν τον τρόπο επαναλαμβάνετε τις προηγούμενες αντιστοιχίσεις σας προς την επάνω γωνία του τριγώνου.

7. | Κάντε κλικ στο κουμπί ‘Επανάληψη’ για να κλείσετε το πλαίσιο διαλόγου.

| Προσέξτε να μην αυξήσετε το πλήθος των επαναλήψεων πολύ γρήγορα. Επειδή κάθε επανάληψη προσθέτει τον τριπλάσιο αριθμό νέων τριγώνων απ' ό,τι η προηγούμενη επανάληψη, η κατασκευή σας σύντομα γίνεται πολύ περίπλοκη! Το Sketchpad θα αρχίσει να καθυστερεί αν το σχέδιό σας περιέχει επαναλήψεις πιο περίπλοκες απ' ό,τι μπορεί να χειριστεί ο υπολογιστής σας με άνεση. Αν έχετε επιλεγμένη την ολοκληρωμένη επανάληψη, μπορείτε να αυξήσετε ή να μειώσετε το πλήθος των επαναλήψεων που προβάλλονται πατώντας το πλήκτρο + ή – στο πληκτρολόγιό σας. Αν μπορούσατε να εκτελέσετε επαναλήψεις για άπειρο πλήθος, το αποτέλεσμα αυτής της διαδικασίας θα ήταν ένα Τρίγωνο Sierpinski.

Αν φανταστείτε ότι η επιφάνεια του αρχικού τριγώνου σας έχει αντικατασταθεί από την επιφάνεια τριών μικρότερων τριγώνων σε κάθε βήμα, σκεφτείτε για λίγο τι συμβαίνει στη συνολική επιφάνεια όλων των μικρότερων τριγώνων καθώς αυξάνετε το πλήθος των επαναλήψεων. Επειδή τα τρία μικρότερα τρίγωνα δεν κάλυψαν το αρχικό τρίγωνο, η επιφάνεια πρέπει να μικραίνει. Επομένως, με κάθε επανάληψη η επιφάνεια γίνεται όλο και πιο μικρή. Ποιο είναι το όριο της επιφάνειας; Πώς το ξέρετε; Τι συμβαίνει στην περίμετρο; Τα φράκταλ συχνά προκαλούν εκπληκτικές ιδιότητες.

Μπορείτε να οπτικοποιήσετε τις επιφάνειες των τριγώνων επαναλαμβάνοντας τα παραπάνω βήματα σε ένα νέο σχέδιο και χρησιμοποιώντας ένα ΔABΓ στο οποίο έχετε εφαρμόσει την εντολή Εσωτερικού τριγώνου για να κατασκευάσετε το εσωτερικό του τριγώνου. Αφού καθορίσετε τις τρεις αντιστοιχίσεις και κλείσετε το πλαίσιο διαλόγου ‘Επανάληψη’, φροντίστε να επιλέξετε και να αποκρύψετε το αρχικό εσωτερικό του ΔABΓ, έτσι ώστε να μπορείτε να δείτε το εσωτερικό των μικρότερων τριγώνων επανάληψης ‘εντός’ του εσωτερικού του αρχικού τριγώνου σας.

Βλέπε επίσης:

Εργαλεία σχεδίασης ευθύγραμμων αντικειμένων

Επιλογή και αναίρεση επιλογής αντικειμένων

Πολλαπλοί χάρτες επανάληψης

Χρήση του πλαισίου διαλόγου ‘Επανάληψη’

Επαναλήψεις και είδωλα επανάληψης

Πολύγωνα και άλλα εσωτερικά σχημάτων

Εσωτερικού

Ιδιότητες επανάληψης