Στοιχεία του προγράμματος > Αντικείμενα > Γεωμετρικοί τόποι |

Στη γεωμετρία γεωμετρικός τόπος είναι το σύνολο όλων των δυνατών θέσεων ενός αντικειμένου που ικανοποιούν κάποια συγκεκριμένη συνθήκη. Για παράδειγμα, μπορείτε να διερευνήσετε το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από δύο σταθερά σημεία ή το γεωμετρικό τόπο των κύκλων που έχουν το κέντρο τους σε ένα σταθερό κύκλο και διέρχονται από ένα σταθερό σημείο.

Οι δυνατές διαδρομές περιλαμβάνουν ευθύγραμμα αντικείμενα, κύκλους, τόξα, πολύγωνα, άλλα εσωτερικά σχημάτων και τους ίδιους τους γεωμετρικούς τόπους σημείου.

Στο Sketchpad, ο γεωμετρικός τόπος περιγράφει τη θέση ενός αντικειμένου καθώς κάποιο σημείο (από το οποίο εξαρτάται το αντικείμενο) μετακινείται πάνω σε μία διαδρομή. Ο μαθηματικός ορισμός του γεωμετρικού τόπου στο Sketchpad είναι το σύνολο των θέσεων ενός οδηγούμενου αντικειμένου οι οποίες θέσεις δημιουργούνται καθώς κάποιο σημείο οδήγησης από το οποίο εξαρτάται το αντικείμενο κινείται σε πεπερασμένο αριθμό θέσεων κατά μήκος μιας διαδρομής οδήγησης.

Ας δούμε κάποια παραδείγματα που βοηθούν στην κατανόηση του γεωμετρικού τόπου: Στα πρώτα δύο σχήματα, το σημείο E είναι το μέσο σημείο του τμήματος ΓΔ. Το παράδειγμα στα δεξιά δείχνει το γεωμετρικό τόπο του σημείου E καθώς το σημείο Γ κινείται πάνω στο τμήμα AB. Ο γεωμετρικός τόπος του σημείου E σχηματίζει ένα μικρότερο τμήμα, παράλληλο προς το τμήμα AB και στο μισό μήκος του. Σε αυτό το παράδειγμα, το σημείο E είναι το οδηγούμενο αντικείμενο, το σημείο Γ είναι το σημείο οδήγησης και το τμήμα AB είναι η διαδρομή οδήγησης. Στα άλλα δύο σχήματα, ο κύκλος ΓΒ κατασκευάζεται με τα σημεία Γ και B τα οποία έχουν οριστεί επάνω στον κύκλο AB. Ο γεωμετρικός τόπος του κύκλου ΓB καθώς το σημείο Γ κινείται πάνω στον κύκλο AB είναι το καρδιοειδές του δεξιού σχήματος. Σε αυτό το παράδειγμα, ο κύκλος ΓB είναι το οδηγούμενο αντικείμενο, το σημείο Γ είναι το σημείο οδήγησης και ο κύκλος AB είναι η διαδρομή οδήγησης.

Σημείο οδήγησης: Σημείο Γ Διαδρομή οδήγησης: Τμήμα AB Οδηγούμενο αντικείμενο: Σημείο E | Γεωμετρικός τόπος του σημείου E
Σημείο οδήγησης: Σημείο Γ Διαδρομή οδήγησης: Κύκλος AB Οδηγούμενο αντικείμενο: Κύκλος ΓB | Γεωμετρικός τόπος του κύκλου ΓB

Αν οι όροι σημείο οδήγησης, διαδρομή οδήγησης και οδηγούμενο αντικείμενο δεν σας βοηθούν και πολύ να κατανοήσετε τα αντικείμενα που ορίζουν ένα γεωμετρικό τόπο, σκεφτείτε το θέμα μέσα από άλλες αναλογίες. Κάποιοι κατανοούν καλύτερα το γεωμετρικό τόπο στο Sketchpad αν το σκεφτούν ως οπτική αναπαράσταση μιας αφηρημένης συνάρτησης. Σε αυτήν την αναλογία, μία ανεξάρτητη μεταβλητή (το σημείο οδήγησης) ορίζεται σε ένα συγκεκριμένο πεδίο τιμών (τη διαδρομή οδήγησης). Η τιμή αυτής της ανεξάρτητης μεταβλητής (δηλαδή, η θέση του σημείου οδήγησης επάνω στη διαδρομή οδήγησης) καθορίζει την τιμή κάποιας εξαρτημένης μεταβλητής (δηλαδή, τη θέση του οδηγούμενου αντικειμένου). Κάθε δείγμα του γεωμετρικού τόπου αντιπροσωπεύει μία τιμή της συνάρτησης και ολόκληρος ο γεωμετρικός τόπος είναι μία προσέγγιση του πεδίου τιμών της συνάρτησης. (Πρόκειται για προσέγγιση, διότι το Sketchpad χρησιμοποιεί μόνο ένα πεπερασμένο πλήθος διατεταγμένων ζευγών –ή δειγμάτων– στην κατασκευή του γεωμετρικού τόπου.) Η αφηρημένη συνάρτηση σε αυτήν την αναλογία ουσιαστικά αποτελεί την κατασκευή με την οποία το οδηγούμενο αντικείμενο συσχετίζεται με το σημείο οδήγησης.

Άλλοι πάλι βρίσκουν πιο εύστοχη τη σύλληψη του γεωμετρικού τόπου στο Sketchpad ως μιας ανεξίτηλης αποτύπωσης του ίχνους των κινούμενων γραφικών. Σε αυτήν την περίπτωση, έχετε ένα κινούμενο σημείο (το σημείο οδήγησης) το οποίο κινείται πάνω στη διαδρομή στην οποία έχει κατασκευαστεί (τη διαδρομή οδήγησης) και ορίζει κάποιο ιχνογραφούμενο αντικείμενο (το οδηγούμενο αντικείμενο). Καθώς το κινούμενο σημείο κινείται πάνω στη διαδρομή του, το ιχνογραφούμενο αντικείμενο αποτυπώνει το γεωμετρικό τόπο.

Η δυσκολία που συναντάμε στο να βρούμε όρους για αυτές τις δυναμικές έννοιες έχει μεγάλη ιστορία: Όταν ο Γιόχαν ντε Βιτ και ο σερ Ισαάκ Νεύτων μελέτησαν τις κατασκευές γεωμετρικού τόπου των κωνικών τον 17ο αιώνα, χρησιμοποίησαν τον όρο διευθετούσα για να αναφερθούν σε ό,τι εμείς σήμερα αποκαλούμε σημείο οδήγησης. Ενώ αντιθέτως σήμερα, όταν οι μαθηματικοί συζητούν τον ίδιο τύπο γεωμετρικού τόπου, χρησιμοποιούν τον όρο διευθετούσα για να αναφερθούν στη διαδρομή οδήγησης!

Από τις επιλογές Ιδιότητες | Γραφική παράσταση, μπορείτε να ορίσετε το πλήθος των δειγμάτων που χρησιμοποιεί το Sketchpad όταν υπολογίζει και προβάλλει ένα γεωμετρικό τόπο.

Από μαθηματική άποψη, ο γεωμετρικός τόπος μπορεί να περιγράψει έναν άπειρο αριθμό θέσεων του οδηγούμενου αντικειμένου. Ωστόσο, η εμφάνιση άπειρου αριθμού θέσεων θα απαιτούσε από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή να χρησιμοποιήσει άπειρο χρόνο, γι’ αυτό και το Sketchpad εμφανίζει ένα μεγάλο (αλλά όχι άπειρο) πλήθος δυνατών θέσεων, αντί για όλες τις δυνατές θέσεις. Κάθε θέση που όντως προβάλλεται από το Sketchpad ονομάζεται δείγμα.

Επιμέρους θέματα:

Κατασκευή γεωμετρικού τόπου

Τροποποίηση γεωμετρικού τόπου

Βλέπε επίσης:

Γεωμετρικού τόπου

Προσθήκη κίνησης

Σχεδίαση ίχνους

Αντικείμενα διαδρομής

Εμφάνιση και απόκρυψη ετικετών

Προτιμήσεις δειγματοληψίας