Στοιχεία του προγράμματος > Αντικείμενα > Επαναλήψεις και είδωλα επανάληψης |

Η επανάληψη μιας ενέργειας ή μιας λειτουργίας είναι η εκτέλεσή της για περισσότερες από μία φορές. Στα μαθηματικά η επαναληπτική διαδικασία αναφέρεται στην εφαρμογή κάποιας μαθηματικής κατασκευής, ενός υπολογισμού ή άλλης ενέργειας με βάση το προηγούμενο αποτέλεσμα της ίδιας αυτής ενέργειας. Η ενέργεια πρέπει να ορίζει ένα αποτέλεσμα εξόδου με βάση κάποια είσοδο και η επανάληψη χρησιμοποιεί το εξαγόμενο του ενός βήματος ως δεδομένο εισόδου για το επόμενο βήμα.

Το Sketchpad σας δίνει τη δυνατότητα να επαναλάβετε οποιαδήποτε από τις μαθηματικές σχέσεις που χρησιμοποιείτε για να κατασκευάσετε σχέσεις μεταξύ των αντικειμένων σε ένα σχέδιο. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε επαναλήψεις, για να κατασκευάσετε επαναλαμβανόμενους μετασχηματισμούς (όπως διατάξεις πλακόστρωσης), να δημιουργήσετε φράκταλ και άλλα αυτο-όμοια αντικείμενα ή να κατασκευάσετε άλλες ακολουθίες και αλληλουχίες.

Στην άλγεβρα, η επαναληπτική διαδικασία είναι ο υπολογισμός που χρησιμοποιεί μία τιμή εισόδου για να υπολογίσει μία τιμή εξόδου. Η επαναληπτική διαδικασία εφαρμόζεται στον υπολογισμό της τιμής που εξάγεται από τον προηγούμενο υπολογισμό –η τιμή εξόδου από το ένα βήμα αποτελεί την τιμή εισόδου για το επόμενο βήμα. Για να αρχίσει η διαδικασία, πρέπει να υπάρξει μία τιμή εκκίνησης, την οποία αποκαλούμε σπόρο ή αρχική τιμή. Ας πάρουμε τον υπολογισμό “προσθέτω 2” και ας τον εφαρμόσουμε στην αρχική τιμή 5. Όταν εφαρμόσουμε αυτή την πράξη στο 5 μόνο μία φορά, το αποτέλεσμα είναι 7 (επειδή 5 + 2 = 7). Όταν στη συνέχεια εφαρμόσουμε τον κανόνα στο πρώτο αποτέλεσμα (7), το δεύτερο αποτέλεσμα είναι 9 (επειδή 7 + 2 = 9). Η επανάληψη αυτής της ενέργειας παράγει την ακολουθία τιμών 7, 9, 11, 13, 15, 17, … .

Στη γεωμετρία, η επαναληπτική διαδικασία χρησιμοποιεί μία λειτουργία που γίνεται σε ένα σύνολο γεωμετρικών αντικειμένων και παράγει ένα νέο σύνολο αντικειμένων. Το αρχικό σύνολο αντικειμένων είναι η είσοδος και το νέο σύνολο είναι η έξοδος. Για να αρχίσει η διαδικασία, πρέπει να υπάρξει ένα αρχικό σύνολο αντικειμένων, το οποίο αποκαλούμε αρχικό αντικείμενο. Ας πάρουμε το μετασχηματισμό “μεταφορά προς τα δεξιά κατά 1 εκ.”. Όταν εφαρμόσουμε αυτόν τον μετασχηματισμό σε ένα αρχικό αντικείμενο ΔABΓ, το πρώτο αποτέλεσμα είναι το είδωλο ΔA'B'Γ', μετατοπισμένο κατά 1 εκ. προς τα δεξιά. Η επανάληψη αυτού του μετασχηματισμού παράγει μία ακολουθία τριγώνων όμοιων προς τα αρχικό αντικείμενο ΔABΓ, αλλά το καθένα μετατοπισμένο κατά 1 εκ. προς τα δεξιά του προηγούμενου τριγώνου στην ακολουθία.

Σ' αυτά τα παραδείγματα, βοηθά να σκεφτόμαστε την πράξη -“προσθέτω 2” ή “μεταφορά προς τα δεξιά κατά 1 εκ.”- ως κάτι ξεχωριστό από οποιαδήποτε μεμονωμένη τιμή ή τρίγωνο στην ακολουθία τριγώνων. Καλύτερα είναι να τη σκεφτούμε ως μία αντιστοίχιση κάθε τιμής ή αντικειμένου στην ακολουθία στην επόμενη τιμή ή αντικείμενο της ακολουθίας. Οπότε, μπορούμε να πούμε ότι το 47 αντιστοιχεί στο 49 σύμφωνα με την πράξη “προσθέτω 2.” Ολόκληρη η επαναληπτική διαδικασία ορίζεται από το αρχικό αντικείμενο (τον σπόρο ή αρχική τιμή) και την πράξη αντιστοίχισης. Όταν εφαρμόσουμε την πράξη στο αρχικό αντικείμενο μία φορά, το αποτέλεσμα είναι το πρώτο είδωλο του αρχικού αντικειμένου μας με βάση την ενέργεια αντιστοίχισής μας. Καθώς επαναλαμβάνουμε την ενέργεια, κατασκευάζουμε το δεύτερο, τρίτο, τέταρτο είδωλο και ούτω καθεξής.

Επιμέρους θέματα:

Δημιουργία επαναλήψεων

Εργασία με επαναλήψεις

Βλέπε επίσης:

Επανάληψη

Πίνακες τιμών επανάληψης

Πώς κατασκευάζουμε ένα τρίγωνο Sierpinski

Προτιμήσεις δειγματοληψίας