Στοιχεία του προγράμματος > Αντικείμενα > Συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις > Συναρτήσεις |

f(x)=α·x 2+β·x+γ

Το Sketchpad σας δίνει τη δυνατότητα να δημιουργήσετε συναρτήσεις και οικογένειες συναρτήσεων, να εξαγάγετε το αποτέλεσμα συναρτήσεων και να το χρησιμοποιήσετε σε υπολογισμούς, να επεξεργαστείτε συναρτήσεις, να δημιουργήσετε γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και των αντίστροφων συναρτήσεών τους χρησιμοποιώντας καρτεσιανές ή πολικές συντεταγμένες, να συνδυάσετε και να συντάξετε συναρτήσεις με διάφορους τρόπους και να παραγωγίσετε συναρτήσεις.

Δημιουργία νέας συνάρτησης

Για να δημιουργήσετε μία νέα συνάρτηση, για παράδειγμα τη συνάρτηση f(x) = ημ(x), χρησιμοποιήστε την εντολή Νέα συνάρτηση. Αυτή η εντολή ανοίγει τον υπολογιστή συναρτήσεων του Sketchpad, για να σας δώσει τη δυνατότητα να ορίσετε τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζεται η συνάρτηση.

Για να δημιουργήσετε μια νέα συνάρτηση και να κατασκευάσετε αμέσως τη γραφική της παράσταση, χρησιμοποιήστε την εντολή Γραφική παράσταση νέας συνάρτησης.

Βλέπε επίσης:

Νέα συνάρτηση

Γραφική παράσταση νέας συνάρτησης

Υπολογιστής

Εμφάνιση και απόκρυψη ετικετών

Οικογένειες συναρτήσεων

Οι παράμετροι είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη διερεύνηση οικογενειών συναρτήσεων, διότι μπορούν να αλλαχθούν εύκολα ή να μετατραπούν σε κινούμενα γραφικά με την προσθήκη κίνησης.

Καθώς χρησιμοποιείτε τον υπολογιστή συναρτήσεων για να εισαγάγετε ή να επεξεργαστείτε μία συνάρτηση, μπορείτε να δημιουργήσετε μία νέα παράμετρο ή να χρησιμοποιήσετε μία υπάρχουσα παράμετρο ή άλλη μέτρηση από το σχέδιό σας. Όταν μεταβάλλεται η τιμή αυτής της παραμέτρου ή αυτής της μέτρησης, αλλάζει και ο ορισμός της συνάρτησης. Για παράδειγμα, αν δημιουργήσετε την παράμετρο α καθώς ορίζετε τη συνάρτηση f(x) = α· ημ(x), μπορείτε να διερευνήσετε τη συμπεριφορά και τις γραφικές παραστάσεις ολόκληρης αυτής της οικογένειας συναρτήσεων, συμπεριλαμβανομένων και των συναρτήσεων όπως η f(x) = –1· ημ(x) και η f(x) = 3· ημ(x) μεταβάλλοντας την παράμετρο α. Με παρόμοιο τρόπο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τρεις παραμέτρους καθώς ορίζετε τη συνάρτηση f(x) = αx 2 + βx + γ, για να διερευνήσετε το αποτέλεσμα που θα έχει σε αυτήν την οικογένεια συναρτήσεων η μεταβολή της τιμής σε κάθε παράμετρο.

Έχοντας ανοιχτό τον Υπολογιστή, προσθέστε μία νέα παράμετρο στον ορισμό της συνάρτησης επιλέγοντας Νέα παράμετρος από το αναδυόμενο μενού ‘Τιμές’ του Υπολογιστή. Κάνοντας κλικ πάνω σε μία υπάρχουσα παράμετρο στο σχέδιό σας, την εισαγάγετε στη συνάρτηση.

Βλέπε επίσης:

Νέα συνάρτηση

Γραφική παράσταση νέας συνάρτησης

Επεξεργασία ορισμού παραμέτρου

Νέα παράμετρος

Παράμετροι

Υπολογιστής

Χρήση των συναρτήσεων και εξαγωγή αποτελέσματος

f (x ) = 2 · x + 3

f (5) = 13

Μπορούμε να θεωρήσουμε τις συναρτήσεις ως κανόνες που μετατρέπουν τις εισαγόμενες τιμές σε τιμές εξόδου. Για παράδειγμα, η συνάρτηση f (x ) = 2 · x + 3 μπορούμε να πούμε ότι είναι ο κανόνας που λέει: “Για να λάβουμε το εξαγόμενο αποτέλεσμα, παίρνουμε την εισαγόμενη τιμή, την πολλαπλασιάζουμε με το 2 και στη συνέχεια προσθέτουμε 3 στο γινόμενο.” Η εξαγωγή αποτελέσματος μιας συνάρτησης σημαίνει την εφαρμογή του κανόνα για μία συγκεκριμένη τιμή. Για παράδειγμα, f(5) = 2(5) + 3 = 13.

Από τη στιγμή που θα ορίσετε μία συνάρτηση, μπορείτε να τη χρησιμοποιήσετε σε επόμενους υπολογισμούς και σε επόμενους ορισμούς συναρτήσεων. Το αναδυόμενο μενού ‘Συναρτήσεις’ στον Υπολογιστή περιλαμβάνει κάθε επιλεγμένη συνάρτηση που ορίστηκε από το χρήστη και βρίσκεται στο σχέδιό σας. Για να εισαγάγετε μία συνάρτηση που ορίστηκε από το χρήστη και δεν βρίσκεται στη λίστα, κάντε κλικ πάνω της στο σχέδιό σας. (Αν ο Υπολογιστής σάς εμποδίζει να δείτε τη συνάρτηση, ίσως πρέπει πρώτα να μετακινήσετε στην άκρη τον Υπολογιστή.) Στον ορισμό του νέου υπολογισμού ή της νέας συνάρτησης μπορείτε να επιλέξετε οποιαδήποτε από αυτές τις συναρτήσεις που έχουν οριστεί από το χρήστη.

Όταν χρησιμοποιείτε τον Υπολογιστή, μπορείτε να κάνετε κλικ επάνω σε οποιαδήποτε συνάρτηση είναι εμφανής στο σχέδιό σας, για να την εισαγάγετε στον υπολογισμό -ή στη νέα συνάρτηση- που ορίζεται στον Υπολογιστή.

Βλέπε επίσης:

Νέα συνάρτηση

Υπολογισμός

Δημιουργία γραφικής παράστασης συνάρτησης

Για να ορίσετε μία νέα συνάρτηση και να δημιουργήσετε τη γραφική της παράσταση αμέσως πάνω στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων, επιλέξτε την εντολή Γραφική παράσταση νέας συνάρτησης. Ορίστε τη συνάρτηση όπως περιγράφεται πιο πάνω. Όταν κλείσετε τον υπολογιστή συναρτήσεων, δημιουργείται η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τη μορφή που ορίστηκε στο αναδυόμενο μενού ‘Εξίσωση’ του υπολογιστή συναρτήσεων κατά τον ορισμό της συνάρτησης. Η συνάρτηση μπορεί να λάβει οποιαδήποτε από τις τέσσερις δυνατές μορφές.

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μορφή x = f (y), για να δημιουργήσετε τη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης y = f (x).

• | x = f(y)

• | y = f(x)

• | r = f(θ)

• | θ = f(r)

Για να δημιουργήσετε επάνω στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων τη γραφική παράσταση μιας ή και περισσότερων συναρτήσεων που ήδη υπάρχουν, επιλέξτε κάθε συνάρτηση για την οποία θέλετε να δημιουργηθεί η γραφική της παράσταση και χρησιμοποιήστε την εντολή Γραφική παράσταση. Η γραφική παράσταση κάθε συνάρτησης δημιουργείται με τη μορφή που ορίσατε στο αναδυόμενο μενού ‘Εξίσωση’ του υπολογιστή συναρτήσεων κατά τον ορισμό της συνάρτησης.

Βλέπε επίσης:

Γραφική παράσταση νέας συνάρτησης

Γραφικές παραστάσεις

Επεξεργασία συναρτήσεων

Μπορείτε να επεξεργαστείτε μία υπάρχουσα συνάρτηση για να αλλάξετε τον ορισμό της ή τον τρόπο με τον οποίο δημιουργείται η γραφική της παράσταση. Η επεξεργασία μίας συνάρτησης είναι χρήσιμη, για παράδειγμα, αν έχετε δημιουργήσει τη γραφική παράσταση της y = 2 · ημ(x) και τώρα θέλετε να αλλάξετε τη συνάρτηση σε y = 3 · ημ(x), για να δείτε πώς διαφέρουν οι δύο γραφικές παραστάσεις. Αντί να αλλάξετε τη σταθερά σε 3, μπορείτε να εισαγάγετε μία νέα παράμετρο, η οποία θα σας δώσει τη δυνατότητα να διερευνήσετε τις γραφικές παραστάσεις της οικογένειας συναρτήσεων y = α · ημ(x).

Για να επεξεργαστείτε μία συνάρτηση, επιλέξτε αυτή τη συνάρτηση και χρησιμοποιήστε την εντολή Επεξεργασία συνάρτησης από το μενού Επεξεργασία ή από το μενού Περιβάλλοντος.

Επιλέξτε νέα μορφή ‘Εξίσωσης’ όταν επεξεργάζεστε μία συνάρτηση για να αλλάξετε τον τρόπο με τον οποίο αποτυπώνεται στη γραφική της παράσταση. Για παράδειγμα, για να δημιουργήσετε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f ως πολικής συνάρτησης, αλλάξτε τη μορφή Εξίσωσης της f από y = f (x) σε r = f (θ).

Όταν επεξεργάζεστε μία συνάρτηση, μπορείτε να την ορίσετε ξανά με όποιον τρόπο θέλετε -εισάγοντας νέες παραμέτρους και υπάρχουσες παραμέτρους, μετρήσεις και υπολογισμούς- αρκεί να μη δημιουργήσετε ένα κυκλικό ορισμό. Στον κυκλικό ορισμό χρησιμοποιείται ένας ορισμός που εξαρτάται από τη συνάρτηση που επεξεργάζεστε. Για παράδειγμα, αν έχετε ορίσει μία συνάρτηση f και τη χρησιμοποιείτε για τον υπολογισμό της f (3) στο σχέδιό σας, στη συνέχεια δεν μπορείτε να επεξεργαστείτε τη συνάρτηση f έτσι ώστε να χρησιμοποιεί τον υπολογισμό της f (3) στον ορισμό της.

Βλέπε επίσης:

Επεξεργασία συνάρτησης

Υπολογιστής

Μετασχηματισμός συναρτήσεων

Από τη στιγμή που ορίσετε μία συνάρτηση f (x) –για παράδειγμα την f(x) = x 2 – μπορείτε να ορίσετε και να δημιουργήσετε τη γραφική παράσταση άλλων συναρτήσεων που είναι μετασχηματισμοί της f (x). Οι μετασχηματισμοί της f(x) περιλαμβάνουν συναρτήσεις όπως η g(x) = 2 · f(x), η g (x) = f (–x) ή ακόμη και η g (x) = –3 f (2x + 5) – 1.

Για να ορίσετε μία συνάρτηση η οποία αποτελεί μετασχηματισμό της f (x), επιλέξτε την εντολή Νέα συνάρτηση από το μενού Γράφημα. Ορίστε τη νέα συνάρτηση με τον τρόπο που θα την ορίζατε κανονικά, εισάγοντας την αρχική συνάρτηση f όποτε θέλετε, αφού την επιλέξετε από το τμήμα των συναρτήσεων που έχουν οριστεί από το χρήστη στο αναδυόμενο μενού ‘Συναρτήσεις’ του Υπολογιστή.

Βλέπε επίσης:

Νέα συνάρτηση

Σύνθετες συναρτήσεις

f(x) = 2x + 3

g(x) = x2

f(g(3)) = 21,00

Οι σύνθετες συναρτήσεις είναι συναρτήσεις συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η f ( g(3)) είναι η σύνθεση των συναρτήσεων f και g για την τιμή 3 και μπορούμε να την ερμηνεύσουμε ως εξής: “Πρώτα εξάγουμε το αποτέλεσμα της συνάρτησης g για 3. Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε αυτό το αποτέλεσμα ως δεδομένο εισόδου για τη συνάρτηση f. Το αποτέλεσμα της f είναι η τιμή της έκφρασης f ( g(3)).”

Για να συνθέσουμε δύο συναρτήσεις f και g, πρέπει πρώτα να ορίσουμε καθεμιά από τις συναρτήσεις ξεχωριστά. Στη συνέχεια μπορούμε να εξαγάγουμε το αποτέλεσμα της σύνθετης συνάρτησης (όπως στο παράδειγμα) ή να ορίσουμε μία νέα συνάρτηση η οποία αποτελεί τη σύνθετη συνάρτηση των δύο αρχικών συναρτήσεων.

Για να εξαγάγουμε το αποτέλεσμα της f (g(3)) όπως στο παράδειγμα, επιλέγουμε τις συναρτήσεις f και g και χρησιμοποιούμε την εντολή Υπολογισμός. Στον Υπολογιστή, επιλέγουμε την f (x) από το τμήμα των συναρτήσεων που έχουν οριστεί από το χρήστη στο αναδυόμενο μενού ‘Συναρτήσεις’ και στη συνέχεια επιλέγουμε με ανάλογο τρόπο την g (x). Και τελικά, εισαγάγουμε το όρισμα (“3” στο παράδειγμά μας), κλείνουμε τις παρενθέσεις και κάνουμε κλικ στο OK.

Για να δημιουργήσουμε τη σύνθετη συνάρτηση h (x) = f (g(x)), επιλέγουμε την εντολή Νέα συνάρτηση για να ορίσουμε τη συνάρτηση h (x) και ακολουθούμε την ίδια διαδικασία, χρησιμοποιώντας ως όρισμα το x αντί για 3.

Βλέπε επίσης:

Υπολογισμός

Νέα συνάρτηση

Παραγώγιση

Για να δημιουργήσουμε την παράγωγο μιας συνάρτησης σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή της, επιλέγουμε τη συνάρτηση και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε την εντολή Παράγωγος από το μενού Γράφημα. Το αποτέλεσμα είναι μία συνάρτηση παραγώγου για την οποία μπορεί να δημιουργηθεί η γραφική της παράσταση ή να εξαχθεί το αποτέλεσμά της όπως και με οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση.

Βλέπε επίσης:

Παράγωγος